4.5齐次线性方程组有非零解的条件及结构.pdf

第四章 向量与线性方程组 §4.5 齐次方程组有非零解 的条件及解的结构 2010年秋季四川大学邓传现 齐次线性方程组有非零解的充要条件 关于齐次线性方程组：一般形式 或其矩阵形式： 其中 或其向量形式 其中 我们有如下结论： 2 2010年秋季四川大学邓传现 齐次线性方程组有非零解的充要条件 定理 以下命题等价（即互为充要条件） ① 齐次线性方程组 有非零解； ② 向量组 线性相关； ③ ④ 推论 方程组 仅有零解 3 2010年秋季四川大学邓传现 齐次线性方程组解的性质 ① 若 为 的解，为任意数，则 也为 的解. 解向量的数乘仍是解 ② 如果 为 的解，则 仍 为 的解. 解向量的和差仍是解 ③ 如果 为 的解， 为任意两 数，则 也为 的解. 解向量的线性组合仍是解 ④ 若 为 的解， 均为任意数，则 也为 的解. 解向量的线性组合仍是解 4 2010年秋季四川大学邓传现 例题 解齐次线性方程组 解答 令 则 故原齐次线性方程组的一般解为 其中 为任意常数. 5 2010年秋季四川大学邓传现 齐次线性方程组的基础解系 易见 是两个线性无关的解， 且原方程组的任意解都可由 线性表出，在此， 称 为原齐次线性方程组的一个基础解系. 定义 称向量组 为齐次线性方程组 的一个基础解系，如果 ① 向量组 中的每个向量均为 的解； ② 向量组 线性无关； ③ 方程组 每个解均可由 线性表出. 6 2010年秋季四川大学邓传现 齐次线性方程组的基础解系 若 是 的一个基础解系，则 ① 的任意线性组合都是