4.6--保守场.pdf

保守场 平面保守场 DR2 V(x,y) (X(x,y),Y(x,y)) ，连续向量场 。第二类曲线积分 (B) L(A) V(x,y)dl V(x,y)  的值与 AB, 有关。 L  V(x,y) (X(x,y),Y(x,y)) DR2 定义：若连续向量场 在 内的第二类曲线积分与 V(x,y) 积分路径 L无关 （只与  有关 ），则称 V(x,y) (X(x,y),Y(x,y))为区域 AB, DR2 内的保守场。 V(x,y) (X(x,y),Y(x,y)) 2 (1) AB, 定理：设向量值函数 在开域 D   内是C 类的， D L D AB, D 是 内两点， 是 内连接 的逐段光滑曲线，则平面第二类曲线积分在 域 上与路径无关的充要条件是： F(x,y)在域 D 内沿任何过点AB, 点的闭曲线的第 二类积分为零。 2 D D 定义： D   称为单连通的，指的是 中的任一闭曲线的内部都在 内。 复连域 V(x,y) (X(x,y),Y(x,y)) 2 D (1) 定理：设 在  的单连通开域 上是 C 类的，则下列 命等价： X Y （1 ） ,(x,y)D ； y x (B) (B) （2 ） Vdl XdxYdy在域 D 内与路径L无关，其中 AB, 为 D 内任 L(A) L(A) 意两点； u(x,y) du XdxYdy （3 ）存在某个函数 使 。 证明: (1)(2) ：由Green 公式，对于 D 内任意过AB, 的闭路径L ， Y X XdxYdy (  )dxdy 0 L D x y * 其中 D 是 L包围的平面域，于是从定理 4.6.3 可得到（2 ） (2)(3) D B(x,y)D ：在 中任取点 A(x ,y ) ，而