4.1-4.7 二元关系和函数.pdfVIP

哈尔滨工业大学(威海)数学系 Discrete Math. 二元关系和函数 本章主要内容 o 集合的笛卡尔积与二元关系 o 关系的运算 o 关系的性质 o 关系的闭包 o 等价关系和偏序关系 o 函数的定义和性质 o 函数的复合和反函数 Copyrights © 2006 ­ powered by nerdpal @ HIT  4.1 集合的笛卡儿积与二元关系  Def. 由两个元素x和y按一定的顺序排列成的二元 组叫做一个有序对(也称序偶)  n记作x,y  n允许x y  n其中x是它的第一元素, y是它的第二元素 n平面直角坐标系中点的坐标就是有序对 如,1,­1,2,0…代表坐标系中不同的点 Copyrights © 2006 ­ powered by nerdpal @ HIT 有序对的特点  1.当xy时, x,y y,x  2.两个有序对相等的充分必要条件:  x,y u,v iff x u且y v Copyrights © 2006 ­ powered by nerdpal @ HIT  有序n元组  Def. 一个有序n元组(n≥3)是一个有序对, 其中第 一个元素是一个有序n­1元组 n记作x ,x ,…,x   1  2  n  x ,x ,…,x  x ,x ,…,x  ,x   1  2  n  1  2  n­1  n  如,空间直角坐标系中点的坐标1,­1,3,  2,4.5,0等都是有序3元组  n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组 Copyrights © 2006 ­ powered by nerdpal @ HIT  笛卡儿积  Def. 设A,B为集合,用A中元素为第一元素,B中元 素为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成 的集合叫做A和B的笛卡儿积 符号化: A¥ B={x,y|xŒA∧yŒB}.  如, A={a,b},B={0,1,2},则  A¥ B={a,0,a,1,a,2,b,0,  b,1,b,2}  B¥A={0,a,0,b,1,a,1,b,  2,a, 2,b} Copyrights © 2006 ­ powered by nerdpal @ HIT  如果A中有m个元素,B中有n个元素,则A¥ B和B¥A  中都有多少个元素?  nmn个 若x,yŒA¥ B,则有xŒA和yŒB  若x,yœA¥ B,则有xœA或yœB Copyrights © 2006 ­ powered by nerdpal @ HIT  笛卡儿积运算的性质  1. 若A,B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空集,  即 ¥ B=B¥ 2. 当A≠B且A,B都不是空集时,有  A¥ B≠B¥A  所以,笛卡儿积运算不适合交换律。  3. 当A,B,C都不是空集时,有  (A¥ B)¥C≠A¥ (B¥C)  所以,笛卡儿积运算不适合结合律。 Copyrights © 2006 ­ powered by nerdpal @ HIT  4. 笛卡儿积运算对 ∪或∩运算满足分配律  A¥ (B∪C)=(A¥ B)∪(A¥C)  (B∪C)¥A=(B¥A)∪(C¥A)  A¥ (B∩C)=(A¥ B)∩(A¥C)  (B∩C)¥A=(B¥A)∩(C¥A) Copyrights © 2006 ­ powered by nerdpal @ HIT  证明 A¥(B∪C) (A¥ B)∪(A¥C) 证. 对于任意的x,y,  x,yŒA¥ (B∪C) ¤ xŒA∧yŒB∪C ¤ xŒA∧(yŒB∨yŒC) ¤ (xŒA∧yŒB)∨(xŒA∧yŒC) ¤ x,yŒA¥ B∨x,yŒA¥C ¤ (x,y)Œ(A¥ B)∪(A¥C).  所以 A¥ (B∪C)=(A¥ B)∪(A¥C) Copyrights © 2006 ­ powered by nerdpal @ HIT  例. 设A={1,2},求P(A)¥A  解  P(A)¥A  ={,