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D5.3 定积分的换元法
高等数学(1)标准化作业题参考答案—25 班级 姓名 学号
第三节 定积分的换元法
一、填空题
3
5 x 25 1
1．∫0 2 dx ＝ − ln 26 ．
x +1 2 2
5 x 3 1 5 x 2 dx 2 1 5 2 ⎛ 1 ⎞ 2 25 1
提示：∫0 2 dx ∫0 2 ∫0 x ⎜1− 2 ⎟dx =− ln 26 .
x +1 2 x +1 2 ⎝ x +1⎠ 2 2
πsin x cos x π
2 ．∫2 4 dx ＝ ．
0
+ x 8
1 sin
π
π sin x cos x 1 π dsin2 x ⎡1 2 ⎤2 π
提示：∫2 4 dx ∫2 4 arctan(sin x) .
0 1+sin x 2 0 1+sin x ⎢⎣2 ⎥⎦0 8
3
e 1 1 x
3 ．∫1 dx ＝ 2 ． 4 ．∫0 ex +e dx ＝ ee −e ．
x 1+lnx
5 ．设f (x ) 在[−a ,a] 上连续，则 a x 2 f (x ) −f (−x ) dx ＝ 0 ．
∫−a [ ]
提示：令F (x ) f (x ) =−f (−x ) ，则F (−x ) f (=−x ) − f (x ) =−F (x )
a 2
所以，当x ∈−a, a 时，F (x ) 为奇函数，从而 x F (x )dx 0 （利用奇偶性）.
[ ] ∫−a
1 2 3
6 ． 2 (arcsin x ) dx ＝ π ．
∫−1 2 324
2 1−x
1
1 2 1 3 2 3
2 (arcsin x ) 2 2 ⎡ arc
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