5.3.3 管道中的高次波.pdf

5.3.3 管道中的高次波 [ 返回本节目录 ] 对于（ 0 ， 0 ）次平面波我们是很熟悉的。现在就来观察一下高次波的传播特性。把次 高次波表示为 （ 5 -4- 3 ） 为了简化分析，我们来考察 次波。这样 （ 5 -4- 3 ） 式可简化为 （ 5 -4- 4 ） 假如我们引入一个表示角度的量 ，并设？ ？，于是？？ ？，而 。把这些关系代人 （ 5 -4- 4 ） 式可得 （ 5 -4- 5 ） 再利用余弦函数与复指数曲关系，上式可化为 （ 5 -4- 6 ） 图 5-7-1 据分析可知， （ 5 -4- 6 ） 式就是代表两束波的叠加，一束是向 x 正方向与 x 轴成 角传播的平面波，另一束是向 x 负方向与 x 轴成 角传播的平面波。因而这一种 次高次波实质上就是一束与 x 轴成 方向斜向传播，并经壁面不断反射面行进着的平面 波。也就是说， 次高次波不是沿 z 轴直线传播，而是以 角经过壁面不断反射， 而曲折地向 z 方向行进的平面波，如图 5-7-1 所示。这种波的传播方向同声波的频率 f 以 及管子的宽度 等有关。根据这一关系我们也可确定 次波的截止频率。例如， ，即 ，这时声波就不能向 z 方向前进了，与此角对应的条件是 ， 由此可得 次波的截止频率为 ，这与前述结果完全一致。同理我们可以 指出， 次波是一个与 y 轴交角斜向传播着的平面波，而 次波是两个倾斜 入射平面波的叠加。 高次波的传播速度 声波在管中传播时，其频率由声源决定，对于不同简正波，频率都相同。因为简正波的传播 速度为 ，由于声波频率相同，所以不同的简正波声速特不同。 我们知道，在自由空间中声波的传播速度 c 0 是与频率无关的常数。但在管中由于管壁的 约束，声波是不自由的，当然其传播速度将有别于自由空间。在管中只有沿 z 轴传播的 (0 ， 0) 次平面波，因为 才有 。这是可以理解的，因为对于这样的平面波管壁存 在与否，已经关系不大。对高次波。传播速度的关系变得较为复杂。下面我们借助于声波传 播的几何图像来看一看高次波传播速度的物理含义。这里还是以 次波为例。 平面声波的传播可用一波束的运动来表示，其运动速度为 c 0 。根据前述，高次波就是一 束与管轴成一角度，而斜向传播着的平面波。设有一斜向传播的高次波。其传播方向用 AB 表 示，它的波阵面可用图中的 与 等平行线表示。假设我们所观察的波阵面相当于幅 相 ( 声压达到幅值时的相位 ) 。那么当波阵面在 位置时，达到管壁处的幅相为 E 点。 经过 t 时间后波沿着波束方向 ( 与波阵面垂直方向 ) 运动了距离 AB ，波阵面移到了 。但 为直角三角形， EB 为斜边， ，所以沿管壁的相位移动速度大 于 c 0 ，同样从 A 点运动到 C 点的速度也大于 c 0 ，因此说高次波的相位速度，简称相 速，恒大于自由空间平面波的速度 c 0 。按照图中几何关系我们也可以求得高次波的相速 为 （ 5 -4- 7 ） 式中