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习题5.4嘉庚微积分答案
习题5.4
1.计算下列广义积分：
+∞ 1
（1） dx
∫1 x (1+x 2 )
解原式=
+∞
2
+∞⎛1 x ⎞ +∞ 1 1 +∞ 1 2 1 2 +∞ 1 x 1 1 1
∫1 ⎜⎝x −1+x2 ⎟⎠dx ∫1 x dx =−2∫1 1+x2 d (1+x ) [ln x =−2 ln(1+x )]1 2 ln 1+x2 1 −2 ln 2 2 ln 2
+∞ x
（2 ） dx
∫0 (1+x 2 )2
+∞
1 +∞ 1 2 1 1 1
d 1 x
解原式= 2 ∫0 (1+x 2 )2 ( =+ =−) 2 1+x 2 0 2
+∞
（3 ）∫0 e− x dx
解令 x t ,x t 2 ,dx 2tdt , x 0,t 0;x +∞,t =+∞
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞
原式= 2∫0 e−t tdt =−2∫0 tde−t =−2t e−t 0 +2∫0 e−t dt =−2 e−t 0 2
+∞ x
（4 ） dx
∫0 (1+x )3
+∞
+∞
+∞ x +1−1 +∞ 1 +∞ 1 1 1 1 1 1
解原式= dx dx =− dx =− + 1=−
∫0 (1+x )3 ∫0 (1+x )2 ∫0 (1+x )3 1+x 2 1+x 2 2 2
0 ( ) 0
+∞ 1
（5 ） dx
∫e x (ln x )2
+∞
+∞ 1 1
解原式= d ln x − 1
∫e 2
(ln x ) ln x e
+∞ 1
（6 ） dx
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