§5.4 实对称矩阵的相似矩阵.pdf

中国劳动关系学院 线性代数 第五章 第五章 相似矩阵及二次型 China Institute of Industrial Relations 中国劳动关系学院 线性代数 §5.4 实对称矩阵的相似矩阵 一、实对称矩阵的性质 二、对称矩阵正交对角化的方法 三、小结 思考题 第五章 相似矩阵及二次型 China Institute of Industrial Relations 中国劳动关系学院 线性代数 一、实对称矩阵的性质 一、实对称矩阵的性质 说明: 本节所提到的对称矩阵, 除非特别说明, 均 指实对称矩阵. 定理5: 实对称矩阵的特征值为实数. 证明: 设向量x (x≠0)为实对称矩阵A 的对应复特征 值λ的特征向量, 即 Ap =λp , λ x 用 表示λ的共轭复数, 用 表示x 的共轭复向量. Ax A Axx x x λ λ . 于是有 T T T T x Ax x Ax ( ) x (x )λ ( xλ)x T T x Ax x A x ( ) T A( x )x T 及 T ( x)λx T ( xλ)x 第五章 相似矩阵及二次型 China Institute of Industrial Relations 中国劳动关系学院 线性代数 两式相减, 得 T ( ) =− λ0.λ x x 但因为x≠0, 所以, T n n x x x x x ≠ | | 0, 2 ∑ ∑ i i i i 1 i 1 ( ) =−0, λ λ 则 即λ λ, 由此可得, λ是实数. 定理5的意义: 由于