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南京航空航天大学《高等数学》5.4定积分的换元法
第四节 定积分的换元法
一、换元公式
假设 （1） 在 上连续；
定理 f (x ) [ ,a ]b
（2）函数 在 上是单值的且有连续
[ ,α ]β
x t ϕ( )
导数；
（3）当在区间 上变化时， 的值
t [ ,α ]β x t ϕ( )
ϕ(β) b
[ ,a ]b 上变化，且ϕ(α) a 、 ，
在
b β ′
f x(dx) f [t ( )] t (dt) ϕ ϕ
∫ 则 有∫a α .
设 是 的一个原函数，
证 (F )x (f )x
b
f (x )dx F (b ) F (a ), −
∫a
( ) [∵Φ( )],t F ϕ t
dF dx
′ ′ ′
=Φ ⋅( )t ( )f (x ) [ϕ( t)] f( ),ϕ t ϕ t
dx dt
′
∴[ Φ( ()t)]是f( )ϕ t ϕ t 的一个原函数.
β ′
[ ( )] ( ) =ϕf (t ) Φt(dtβ),ϕ−Φ α∫
α
、 ,
(ϕ)α a (ϕ)β b
( ) (Φ)[β(−Φ)] α [ (F )]ϕ β −F ϕ α
( ) (F ),b −F a
b
f (x )dx F (b ) F (a ) − ( ) Φ( )β −Φα
∫a
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