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2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 数学（理科） 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 【题文】已知集合A=，则 (A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4) 【答案】 (C) 【详解】, 【结束】 (2) 【题文】若复数满足，其中是虚数单位，则 (A) (B) (C) (D) 【答案】(A) 【详解】解析：， 【结束】 （3）【题文】要得到函数的图象，只需将函数的图像 (A)向左平移个单位 (B) 向右平移个单位 (C)向左平移个单位 (D) 向右平移个单位 【答案】B 【详解】解析：，只需将函数的图像向右平移个单位 【结束】 (4) 【题文】已知菱形ABCD的边长为，，则 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【详解】解析：由菱形ABCD的边长为，可知， ， 【结束】 （5）【题文】不等式的解集是 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【详解】解析：当时，成立；当时，，解得，则；当时，不成立.综上， 【结束】 （6）【题文】已知满足约束条件若的最大值为4，则 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【详解】 解析：由得，借助图形可知：当，即时在时有最大值0，不符合题意；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，满足； 【结束】 7. 【题文】在梯形中，,,.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【详解】解析：， 【结束】 8. 【题文】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为 （附：若随机变量服从正态分布，则, .） (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【详解】解析：， 【结束】 （9）【题文】一条光线从点射出，经轴反射与圆相切，则反射光线所在的直线的斜率为 (A)或 (B) 或 (C) 或 (D) 或 【答案】D 【详解】解析：关于轴对称点的坐标为，设反射光线所在直线为即，则，解得或， 【结束】 （10）【题文】设函数则满足的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【详解】解析：由可知，则或，解得， 【结束】 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （11）【题文】观察下列各式： 照此规律，当时， . 【答案】. 【详解】解析：具体证明过程可以是： 【结束】 （12）【题文】若“”是真命题，则实数的最小值为 . 【答案】1 【详解】解析：“”是真命题，则，于是实数的最小值为1. 【结束】 （13）【题文】执行右边的程序框图，输出的的值为 . 【答案】 【详解】解析：. 【结束】 （14）【题文】已知函数的定义域 和值域都是，则 . 【答案】 【详解】解析：当时，无解； 当时，解得， 则. 【结束】 (15) 【题文】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 . 【答案】 【详解】解析：的渐近线为，则 的焦点，则，即 【结束】 解答题：本大题共6小题，共75分. 【题文】（本小题满分12分）设 （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为若求面积的最大值. 【答案】 【详解】解：（Ⅰ）由 由得， 则的递增区间为； 由得， 则的递增区间为. （Ⅱ）在锐角中，,,而 由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，即，， 故面积的最大值为. 【结束】 （本小题满分12分）【题文】如图，在三棱台中， 分别为的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若平面, 求平面与平面所成角（锐角）的大小. 【答案】 【详解】解：（Ⅰ）证明：连接DG，DC，设DC与GF交于点T. 在三棱台中，则 而G是AC的中点，DF//AC，则, 所以四边形是平行四边形,T是DC的中点，DG//FC. 又在,H是BC的中点，则TH//DB， 又平面，平面，故平面； （Ⅱ）由平面,可得平面而 则,于是两两垂直， 以点G为坐标原点，所在的直线 分别为轴建立空间直角坐标系， 设,则, ， 则平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则,即， 取，则，， ，故平面与平面所