常微分课件2.2.pdf

§2.2 解的存在惟一性定理 引入：对于给定的微分方程,它的通解一 般有无限多个,而给定初始条件后,其解有时惟 一,有时不惟一. 确定给定初始条件的微分方程解的存在惟一 性十分重要: (一)它是数值解和定性分析的前提; (二)若实际问题中建立的方程模型的解不是 存在且惟一的,该模型就是一个坏模型. 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例1 :初值问题  2 有解: y y ,y(0) 1 在 (,1) . 而同一方程满足 y (1) 2 的解为: 2 1 y . 它的存在区间为 ( ,) 12x 2 x 例2:初值问题 y   ,y (0) a(a 0) 的解为: y y a2 x 2 存在区间为 (a, a) 目录 上页 下页 返回 结束 例3:初始值问题: 2y   3 x 0 y x , y (0) 0  0 x 0  (,). 有无穷多解,存在区间为:  1 c exp( ) , x 0. 1 2  x y (x) 0 , x 0.  1  c2 exp( ) , x 0. 2  x 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.1 例子和思路 例4: 证明初值问题 dy y , y (0) 1 (2.2.1) dx 的解存在且惟一。 证：若y y (x ) 是初始值问题的解, (2.2.1) 两端积分 x y (x ) 满足 y (x ) 1 y (s )ds (2.2.2) 0 反之，若一个连续函数 y y (x ) 满