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椭圆及其标准方程 主讲：黄冈中学数学高级教师 李琳 一、椭圆的定义 　　在平面内，到两个定点距离之和等于定长（定长大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，叫做椭圆．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距． 二、椭圆的标准方程 1、当焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，|MF1|＋|MF2|＝2a时，其标准方程为． 2、当焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，|MF1|＋|MF2|＝2a时，其标准方程为． 三、椭圆的标准方程的求法 例1、（1）已知椭圆两个焦点的坐标分别是（－2，0），（2，0），并且点在椭圆上，求它的标准方程． 　　　（2）已知a＋b＝10，，求椭圆的标准方程． 解： 　　（1）由椭圆的定义可知：． 　　．（备注：视频中c2值计算有误，应该是4） 　　∴椭圆的标准方程为．（备注：视频中椭圆方程有误） 　　（2） 　　 　　∴椭圆的标准方程为． 例2、已知椭圆的焦距是8，求这个椭圆的方程． 解： （1）当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝17，又2c＝8，∴c＝4. ∴m－17＝16，∴m＝33. 此时，方程为. （2）当焦点在y轴上时，a2＝17，b2＝m， ∴17－m＝16，∴m＝1. 此时，椭圆方程为. 综上可知：椭圆方程为或. 四、对椭圆定义的理解 例3、已知点F（0，1），一动圆过点F且与圆x2＋(y＋1)2＝8内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 解： 设圆x2＋（y＋1）2＝8的圆心为E（0，－1），设⊙C与⊙E切于点M， 则M，C，E三点共线. ∵|CF|＝|CM|，∴|CF|＋|CE|＝|CM|＋|CE|＝|ME|＝． 又|EF|＝2，∴|CF|＋|CE||EF|． 根据椭圆的定义可知：动圆心C的轨迹是以E、F为焦点的椭圆， 其中c＝1，2a＝，∴a＝，∴． ∴圆心C点的轨迹方程为：． 例4、已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A刚好是这个椭圆的一个焦点，且这个椭圆的另一个焦点D在BC边上，求△ABC的周长． 解： 由椭圆的定义可知：|CA|＋|CD|＝2a，|BA|＋|BD|＝2a． ∴C△ABC＝4a＝． 　　 椭圆的简单几何性质 主讲：黄冈中学数学高级教师 李琳 一、几何性质（） （一）范围：x＝±a，y＝±b所围成的矩形框里．－a≤x≤a，－b≤y≤b． （二）对称性： （1）椭圆是轴对称图形；x轴、y轴是对称轴． （2）椭圆是中心对称图形；以原点为对称中心． （三）顶点（4个）、长轴＝2a、短轴＝2b． a→长半轴长，b→短半轴长，c→半焦距． 中心． （四）离心率：． 当e越接近0时，椭圆越圆；当e越接近1时，椭圆越扁． 例1、已知椭圆的焦点是F1（0，－1）和F2（0，1），离心率． 　　（1）求椭圆的方程； 　　（2）设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值． 解： （1）由已知可得 ∴椭圆方程为． （2）由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝1． ∴|PF1|＝，|PF2|＝，又|F1F2|＝2. 例2、点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：的距离之比是，求点M的轨迹． 解： 依题意，M点的轨迹是集合． 其中． ，． 两边平方，得． 化简，得9x2＋25y2＝225． 即 故M的轨迹是以（4，0），（－4，0）为焦点，长轴长为10的椭圆． 二、椭圆的第二定义：在平面内，到定点和定直线（定点不在定直线上）的距离之比等于定值e(0e1)的点的轨迹叫椭圆． 补充：椭圆的焦半径公式：设P（x，y）是椭圆上任意一点，，F1（－c，0），F2（c，0），则|PF1|＝a＋ex，|PF2|＝a－ex． - 返回 - 　　 双曲线及其标准方程 主讲：黄冈中学数学高级教师 李琳 椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 　　双曲线的定义：平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线．定点称为双曲线的焦点，|F1F2|叫焦距． 　　双曲线的标准方程： 　　焦点在x轴上：； 　　焦点在y轴上：． 　　且有． 例1、判断下列方程是否表示双曲线. 　　①方程； 　　②方程． 解： 　　①表示双曲线的一支． 　　②不表示双曲线． 例2、已知方程表示双曲线，求m的取值范围. 解： 　　方程表示双曲线(2＋m)(m＋1)0m－2或m－1． 例3、已知双曲线的两个焦点的坐标分别为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 解： 　　依题意：2c＝|F1F2|＝10，∴c＝5，又2a＝6，∴a＝3，∴b2＝c2－a2＝25－9＝16． 　　∴双曲线的标准方程为． 例4