2017届高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11.3 导数与函数的综合问题课件 文.ppt

(1)求a，b的值； (2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t。 ①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度。 【规律方法】　在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点。 (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点。 所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42。 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。 【例2】　已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R。 (1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 【解】　a＝1时，f(x)＝(x2＋x－1)ex， 所以f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x－1)ex＝(x2＋3x)ex， 所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e。又因为f(1)＝e， 所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1)， 即4ex－y－3e＝0。 (2)若a0，求f(x)的单调区间； 【规律方法】　利用导数研究方程根的方法 研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。 导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题。 角度一：证明不等式 1．(2015·唐山一模)已知f(x)＝(1－x)ex－1。 (1)求函数f(x)的最大值； 解　f′(x)＝－xex。 当x∈(－∞，0)时，f′(x)0，f(x)单调递增； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递减。 所以f(x)的最大值为f(0)＝0。 解　证明：由(1)知，当x0时，f(x)0，g(x)01。 当－1x0时，g(x)1等价于f(x)x。 设h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝－xex－1。 当x∈(－1,0)时，0－x1,0ex1，则0－xex1， 从而当x∈(－1,0)时，h′(x)0，h(x)在(－1,0]上单调递减。 当－1x0时，h(x)h(0)＝0，即g(x)1。 综上，总有g(x)1。 角度二：不等式恒成立问题 2．(2016·烟台模拟)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3。 (1)求函数f(x)的最小值； (2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； 【规律方法】　导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略 (1)利用导数证明不等式。①证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)。 ②证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)。 (2)利用导数解决不等式的恒成立问题或存在型问题。利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。 ⊙1个构造——构造函数解决问题 把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法。 ⊙2个转化——不等式问题中的两个转化 (1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用。 (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理。 ⊙3个注意点——利用导数解决实际问题应注意的三点 (1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还要注意确定函数关系式中自变量的取值范围。 (2)一定要注意求得函数结果的实际意义，不符合实际的值应舍去。 (3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点。 S　思想方法 感悟