2017年考研数学一真题与解析.doc

2017年考研数学一真题在处连续，则 （A）（B）（C）（D） 【详解】，，要使函数在处连续，必须满足．所以应该选（A） 2．设函数是可导函数，且满足，则 （A） （B） （C） （D） 【详解】设，则，也就是是单调增加函数．也就得到，所以应该选（C） 3．函数在点处沿向量的方向导数为 （A） （B） (C） （D） 【详解】，所以函数在点处的梯度为，所以在点处沿向量的方向导数为 应该选（D） ４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为，计时开始后乙追上甲的时刻为，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，表示时刻内所走的路程．本题中的阴影面积分别表示在时间段内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在时乙追上甲，应该选（C）． 5．设为单位列向量，为阶单位矩阵，则 （A）不可逆 （B）不可逆 （C）不可逆 （D）不可逆 【详解】矩阵的特征值为和个，从而的特征值分别为；；；．显然只有存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）． 6．已知矩阵，，，则 （A）相似，相似 （B）相似，不相似 （C）不相似，相似 （D）不相似，不相似 【详解】矩阵的特征值都是．是否可对解化，只需要关心的情况． 对于矩阵，，秩等于1 ，也就是矩阵属于特征值存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是． 对于矩阵，，秩等于2 ，也就是矩阵属于特征值只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然不相似故选择（B）． 7．设是两个随机事件，若，，则的充分必要条件是 （A） （B） （C） （D） 【详解】由乘法公式：可得下面结论： 类似，由可得 所以可知选择（A）． 8．设为来自正态总体的简单随机样本，若，则下列结论中不正确的是（ ） （A）服从分布 （B）服从分布 （C）服从分布 （D）服从分布 解：（1）显然且相互独立，所以服从分布，也就是（A）结论是正确的； （2），所以（C）结论也是正确的； （3）注意，所以（D）结论也是正确的； （4）对于选项（B）：，所以（B）结论是错误的，应该选择（B） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．已知函数，则 ． 解：由函数的马克劳林级数公式：，知，其中为展开式中的系数． 由于，所以． 10．微分方程的通解为 ． 【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程有一对共共轭的根，所以通解为 11．若曲线积分在区域内与路径无关，则 . 【详解】设 ，显然 在区域内具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有 12．幂级数在区间内的和函数为 【详解】 所以 13．设矩阵，为线性无关的三维列向量，则向量组的秩为 ． 【详解】对矩阵进行初等变换，知矩阵A的秩为2，由于为线性无关，所以向量组的秩为2． 14．设随机变量的分布函数，其中为标准正态分布函数，则 ． 【详解】随机变量的概率密度为，所以 三、解答题 15．（本题满分10分） 设函数具有二阶连续偏导数，，求，． 【详解】，； ． 16．（本题满分10分） 求 【详解】由定积分的定义 17．（本题满分10分） 已知函数是由方程． 【详解】在方程两边同时对求导，得 （1） 在（1）两边同时对求导，得 也就是 令，得．当时，；当时， 当时，，，函数取极大值； 当时，，函数取极小值． 18．（本题满分10分） 设函数在区间上具有二阶导数，且，，证明： （1）方程在区间至少存在一个实根； （2）方程在区间内至少存在两个不同实根． 证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件可知，存在，及，使得，由于在上连续，且，由零点定理，存在，使得，也就是方程在区间至少存在一个实根； （2）由条件可知，由（1）可知，由洛尔定理，存在，使得； 设，由条件可知在区间上可导，且，分别在区间上对函数使用尔定理，则存在使得，也就是方程在区间内至少存在两个不同实根． 19．（本题满分10分） 设薄片型是圆锥面被柱面所割下的有限部分，其上任一点的密度为，记圆锥面与柱面的交线为． （1）求在布上的投影曲线的方程； （2）求的质量 【详解】（1）交线的方程为，消去变量，得到． 所以在布上的投影曲线的方程为 （2）利用第一类曲面积分，得 20．（本题满分11分） 设三阶矩阵有