郑瑄老师之直角三角形的边角关系课案例.doc

整理郑瑄老师之直角三角形的边角关系课案例 温二中 蔡新莲 本文将详细阐述和探究浙教版九上数学三角函数第一节入门概念课的案例过程，以期突破教学中的难点与盲点。 分类问题，温故而探新 问题：曾经研究过直角三角形，它是一种特殊的三角形，第一次涉及研究直角三角形时，角、边、边角之间有什么关系？ （角之间的关系：两锐角之和为90度，即两锐角互余；边之间的关系：勾股定理，记角A对边为a.，角B对边为b，角C对边为c，，根据勾股定理的逆定理，可以判断是否为直角三角形等。） 追问：那么关于边角之间的关系，在你们的经验和经历中有吗？ 设计意图：《义务教育数学课程标准》（2011年版）提出：教学活动中要体现“理解数学”的基础上遵循知识的发生发展过程，“为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程”。因此在复习已有知识积累的基础上，进一步研究直角三角形的边角关系，是符合学生的认知规律的。而对关于直角三角形中基本元素问题进行分类，在创设引入问题情境下学生自然清楚这里的分类思想，以及为什么而“分”，有哪几“类”等。可谓引入部分简约不简单！ （二）体验探究，构建新概念 问题：其实关于边角之间的关系，在你们的经验和经历中是有的。请看（30度直角三角板），你有吗？你有的，只是你的小一点，我的大一点。30度角确定，请问这三边有什么关系？ 设30度角对边a为1，则斜边c为2，根据勾股定理邻边b为： （这不就是我们经验和经历中直角三角形边角的关系吗？！） 还有一块三角板，（等腰直角三角板）你也有一块。你的小一点，我的大一点，但是我们都是一个角是45度。 设45度角对边a为1份，邻边b为1份，根据勾股定理斜边c为。 （这又是我们经验和经历中直角三角形边角的关系！） 一个有趣的问题：难道锐角确定，它的三条边的比值也一定确定吗？给出一个锐角，必然给定一个固定值的三边之比吗？ 尝试：一个锐角为15度的直角三角形，是否也有是一个固定的值呢？ 当锐角是15度时，我们发现三边之比又确定了。其实，你再有一块三角板，它的锐角是15度的，无论大小怎么样，它的比值仍然不变！原因是什么？相似三角形对应边成比例！ 假如∠A=是任意锐角，那么三边之比确定吗？（确定！原因就是三角形的相似。） 这样的语境，我们曾经经历过：在中，当锐角确定，三边之比也确定；当锐角发生变化，它的三边的比值也随之变化。 设计意图：《义务教育数学课程标准》（2011年版）提出：概念教学要返璞归真，努力揭示概念的发生发展过程及其本质。因此，学生亲身经历概念的自然形成过程是概念教学的必由之路。从学生熟悉的两个特殊的直角三角形入手，已知直角三角形中的一个锐角来确定它们的三条边长之比，这个比与三角形的大小无关，只与锐角的度数有关，从而给出了三角函数的概念在某个范围内——对于锐角三角形变化的角0至90度，每一个确定的的值， 都有唯一确定的值，我们称是的函数，叫做自变量。 类比“这样的语境，这样的经历，这样的经验”：、、、；这样的经历我们肯定是有的。 直角三角形的边角关系，是一种函数关系，是比值与角度的函数关系。 我们可以做一个类比：在直角三角形中，对于每一个确定的锐角A，三边之比都是一个确定的值，与三角形的大小无关（这是因为三角形的相似）。而当锐角A变化时，三边之比也发生变化。 总结（最漂亮的是这句话）：比值可以看做是锐角A的函数！ 另类之处：原来学过的都是代数函数，都是数量与数量的对应关系；现在，是不是比值和角度的对应关系？还有，原来是不是都能够用一个解析式来表达；现在，怎么办？有什么办法利用一个数量关系、解析式来表达出来？ 设计意图：体验在某个变化过程中有两个变量的关系，联想到前面所学习的函数概念，进行类比，用一个崭新的视角去观察、思考这个发现，慢慢的体验到这个比值是以角度为自变量的一种崭新的函数。学生能真正体会到这种另类的函数与之前知识建构体系中的联系，还能深深疑惑其另类之处。 （四）简约智慧，新三角函数 老子《道德经》，有一个对于道的最高境界，叫做“大道至简”——大道理总是极端简单的。我们研究问题、我们美学的角度，总是希望能够简洁、简约、简化。 师生共同分析，总结归纳： 第一简：关注点简约——三条边是有勾股定理的关系的——关注三边简约成关注两边。三边中挑两边：a、c，b、c，a、b；这两边有角A的对边与斜边，角A的邻边与斜边，角A的对边与邻边。研究它的比，可以a比c，也可以c比a；它们的比，有两种情况。 第二简：只关注这三个比——经过简约，三边之比简约成两边，两边之比互为倒数的，放在一边，只关注三个。 根据刚才我们的分析发现，它们的比值都是关于角度A的函数。可是不管怎样地简，有一个问题避不开：怎么来表达？也就是怎样的一个解析式，可以把比值关于角度A的函数关系把它表达出来？（量化） 数学家解决了这样一个问题