2017年高考一轮复习教案—第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数.docx

第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数三角函数的概念(1)了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化．(2)会判断三角函数值的符号．(3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识点一　角的有关概念(1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．(3)若α与β角的终边相同，则β用α表示为β＝α＋2kπ(k∈Z)．易误提醒　(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°α90°}，第一象限角的集合为{α|2kπα2kπ＋，k∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．[自测练习]1．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是(　　)A．重合B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称解析：角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x轴对称．∴角α与β的终边关于x轴对称．答案：C知识点二　弧度的概念与公式　在半径为r的圆中分类定义(公式)1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad表示．角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝rad；1rad＝°弧长公式弧长l＝|α|·r扇形的面积公式S＝lr＝|α|·r2易误提醒　角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. [自测练习]2．弧长为3π，圆心角为π的扇形半径为________，面积为________．解析：弧长l＝3π，圆心角α＝π，由弧长公式l＝|α|·r，得r＝＝＝4，面积S＝lr＝6π.答案：4　6π知识点三　任意角的三角函数三角函数正　弦余　弦正　切定　义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫作α的正弦，记作sinαx叫作α的余弦，记作cosα叫作α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线易误提醒　三角函数的定义中，当P(u，ν)是单位圆上的点时有sinα＝ν，cosα＝u，tanα＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.[自测练习]3．若sinα0且tanα0，则α是(　　)A．第一象限角　　B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由sinα0，得α在第三、四象限或y轴非正半轴上，又tanα0，∴α在第三象限．答案：C4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.解析：由三角函数的定义，sinθ＝，又sinθ＝－0，∴y0且＝－，解之得y＝－8.答案：－8考点一　角的集合表示及象限角的判断|1．(2015·东城期末)若角α满足α＝＋(k∈Z)，则α的终边一定在(　　)A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上解析：由α＝＋，k∈Z，当k＝0时，α＝，终边在第一象限．当k＝1时，α＝＋＝，终边在第二象限．当k＝－1时，α＝－＋＝－，终边在y轴的非正半轴上，故选D.答案：D2．已知sinα0，cosα0，则α所在的象限是(　　)A．第一象限B．第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限解析：因为sinα0，cosα0，所以α为第二象限角，即＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，则＋kπα＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α为第一象限角；当k为奇数时，α为第三象限角，故选C.答案：C3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°，得－765°≤k×360°－45°，解得－≤k－，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°解决终边相同的角的集合的两个方法(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α所在的象限．考点二　三角函数的定义|　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．[解]　设α终边上任一点为P(