参数方程、极坐标讲义.doc

参数方程、极坐标 一．直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 (t为参数) (2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是 (t不参数) ② 在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时， ｜ t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是 ｜t｜. 直线参数方程的应用 设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是 （t为参数） 若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则 (1)P1、P2两点的坐标分别是 (x0+t1cosα,y0+t1sinα) (x0+t2cosα,y0+t2sinα)； (2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜; (3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则 t= 中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜ (4)若P0为线段P1P2的中点，则 t1+t2=0. 例1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 例2.将参数方程化为普通方程为（ ） A． B． C． D． 例3．已知直线与直线相交于点，又点， 则_______________。 例4．直线被圆截得的弦长为______________。 二.圆锥曲线的参数方程 (1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是(φ是参数) φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图) (2)椭圆 (a＞b＞0)的参数方程是 (φ为参数) 椭圆 (a＞b＞0)的参数方程是 (φ为参数) 例5.在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。 三.极坐标 极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度 ，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图) 极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式 例6．点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ） A． B． C． D． 例7.化极坐标方程为直角坐标方程为（ ） B． C． D． 例8．极坐标方程表示的曲线为（ ） A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆 参数方程、极坐标答案 例1．答案： （D） 例2. 答案：（C） 转化为普通方程：，但是 例3. 答案： 将代入得，则，而，得 例4．答案： 直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为 例5. 解：设椭圆的参数方程为， 当时，，此时所求点为。 例6．答案：C 都是极坐标 例7. 答案：C 例8．答案：C 则或 课后习题 1．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 2．参数方程为表示的曲线是（ ） A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线 3．直线和圆交于两点， 则的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 4．圆的圆心坐标是（ ） A． B． C． D． 5．与参数方程为等价的普通方程为（ ） A． B． C． D． 6．直线被圆所截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 1．曲线的参数方程是，则它的普通方程为__________________。 2．直线过定点_____________。 3．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为___________。 4．曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为________________。 5．设则圆的参数方程为__________________________。 三、解答题 1．参数方程表示什么曲线？ 2．点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。 3．已知直线经过点