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周周练（9） 答案 1. 解：（1）∵，， ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减。 ∴当x=1时，有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值。 故的单调递增区间为，单调递减区间为；最大值为-1，但无最小值。 （2）方程化为，由（1）知，在区间上的最大值为-1，，，。 ∴在区间上的最小值为。 故在区间上有两个不等实根需满足， ∴，∴实数m的取值范围为。 （3）∵，又有两个实根， ∴两式相减，得 ∴ 于是 =. ∵,∴,∵,∴。 要证：，只需证：. 只需证：. (＊) 令，∴(＊)化为 只证即可. = = ∴. ∴,∴在上单调递增，∴ ∴，∴. 即：. ∴. 2. 解：（1），则， 即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；------------4分 （2）由（1）可知，---------------------------------------------------------6分 解得或，由或 得：；-------------------------------9分 （3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B， ， 则切线方程是：， 化简得：，--------------------------11分 而过B的切线方程是， 由于两切线是同一直线， 则有：，得，----------------------13分 又由， 即 ，即 即， 得，但当时，由得，这与矛盾。 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。----------------------------------16分 3. （Ⅰ）由条件an＋1＝2an2＋2an， 得2an＋1＋1＝4an2＋4an＋1＝(2an＋1)2．．＝2．，∴an＝(5－1)． ∵lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝＝(2n－1)lg5． ∴Tn＝5． （3）cn＝＝＝＝2－， ∴Sn＝2n－[1＋＋＋…＋]＝2n－＝2n－2[1－]＝2n－2＋2． 由Sn＞2008得2n－2＋2＞2008，n＋＞1005， 当n≤1004时，n＋＜1005，当n≥1005时，n＋＞1005，∴n的最小值为1005． 4. 解：（Ⅰ）由已知得f(x)的定义域为（0，+∞），且 当时，f(x)的单调增区间为（0，），减区间为（）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间； ……………4分 （Ⅱ） 在区间（a,3）上有最值，在区间（a,3）上总不是单调函数， 又 …………………6分 由题意知：对任意恒成立， ，因为，所以， 对任意，，恒成立， …………………9分 （Ⅲ）令a=1此时,由（Ⅰ）知在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴当时， 对一切成立，对一切成立， 则有 …………………12分 ………………14分