OFDM基础理论的数学表达和解析(end).doc

OFDM基础理论的数学表达与解析 王海舟 10/10/2016 目录 摘要 3 第一章、概述 4 第二章、OFDM技术基础理论 4 2.1 芝诺悖论的哲学来源与泰勒级数 4 2.2 三角级数和三角函数的正交性 5 2.3 周期函数的傅里叶级数的表达 6 2.4 欧拉公式 8 2.5 非周期连续函数的傅里叶积分变换 10 2.6 傅里叶变换的时移特性 11 2.7 单位脉冲函数及其筛选特性 12 2.8 卷积积分和卷积定理 14 2.9 奈奎斯特准则和数字滤波初步 15 2.10 OFDM技术的实现 17 第三章、OFDM技术基础理论学习的意义 18 摘要 以OFDM技术为基础的LTE通信网络，经过近3年来的高速发展，网络的建设规模方面已经超过GSM网络。4G的Volte语音业务替代2G的步伐也正在加快，而移动数据业务的发展更是一日千里，成为各个运营商竞争的最重要的战场。更何况OFDM技术仍将在未来的5G网络中起着技术基石的作用。 我们知道，2G网络历经了10年以上的发展，大批现场工程师得到了充足的培训，同时又拥有长期的实战经验，因而在网络优化工作中得心应手。相比而言，LTE网络在短时间的发展，致使我们面临短缺具备一定深度基础理论知识的网络优化工程师的情况；尽管工程师能够从多个方面能够取得一些培训，但由于缺少连贯的理论知识对接，这些培训远远不能支持专业的工程师走的更远、走的更深入。面对这样的困境，本人对OFDM技术要点进行理论梳理，从浩瀚的高等数学、工程数学、通信理论的知识海洋中，颉取最简理论线路，创新进行理论关联和演进的串接，不仅令工程师能够夯实最基础的理论，而且用最简捷的数学理论途径，达到深入理解OFDM技术。 关键词： OFDM、泰勒级数、欧拉公式、傅里叶变换、单位脉冲函数、卷积积分、数字滤波。 第一章、概述 做为一线的现场LTE网络优化工程师，尤其是做为网络优化队伍中资历较深的工程师，有责任带领项目上其他工程师，在全面深入完成日常和专项优化工作的同时，与其他工程师就网络中的技术问题进行共同探讨和学习。而从相互的交流沟通中，发现LTE网络的基础理论能力问题，是限制工程师工作有效性的关键，这也直接影响到项目优化执行力度。比如在天线权值的优化方面，在上行多用户feature的验证等方面等等，均存在事倍功半的情况。而在回顾和反思公司的技术培训环节，愈发感觉存在数学理论学习的缺失，也促使我本人在项目内的技术交流中，无论是OFDM理论方面、在天线和MIMO技术理论方面、还是在SIP信令方面等等，均基于最基本的理论，和最朴素的逻辑关系。而作为4G移动通信网络的基本技术，我认为OFDM应该是每一个工程师深入理解的技术。 通过回想自我学习的历程，并根据本人对于理论的认识，对庞大的数学理论和通信理论进行梳理，对OFDM这一理论的知识要点进行整理，并用直白的语音和最简的数学推导，解析出OFDM真正的含义，以期实现工程师的有最完整的理解。 第二章、OFDM技术基础理论 芝诺悖论的哲学来源与泰勒级数 公元前5世纪，古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea提出一系列关于运动的不可分性的哲学悖论在闭区间上n阶连续可导，且在上n+1阶可导，任意，则泰勒公式如下： . 此泰勒公式，是不是能够解决芝诺悖论无关紧要，但此公式所表达的意义，对于一些具有n阶求导的连续函数来讲，当n趋于无穷大，余项的极限为零时，是可以用泰勒级数来表达。 进一步，如果令函数初始点为0，则该泰勒级数可以以下麦克劳林级数的形式表达： 我们可以得到这样的结论：某些特定条件下的一个连续函数可以用级数和的形式进行表达（上式中n为正整数）。 三角级数和三角函数的正交性 我们可以用麦克劳林级数对三角函数进行展开： ； ； ； ； 可得： 同样可得： 此两个三角函数的级数表达公式，将在后面欧拉公式的证明中用到。 三角函数，如：、、、、、等，在区间具有正交性，这一点不仅从数学的积分公式可以证明，也可以从几何图形中展示。 1、数学积分证明 （积化和差公式） = = 2、几何示意： 上图显示，在一个完整的基波周期中，与基波一样，所有谐波正弦信号在x轴上面的面积和在x轴下面的面积相等。不同的若干正弦信号或若干余弦信号相乘之后的信号，依然保持此性质。 OFDM（正交频分多址）技术，就是利用了三角周期函数的正交性，从而使得若干个不同谐波的三角函数在一个整数周期叠加形成符号。解调时，再利用积分解调出不同的三角函数。 我们可以得到这样的结论：三角函数具有正交性，只要不是一个三角函数与自身相乘，其积分结果总为零。也就是说，具有正交性的函数之间，没有相关性，相互之间进行相乘之后，也可以从复合信号中被完整解析出来。这也就是LTE技术中，具有谐波性质的所有子载波可以叠加成一