1.内容分布4.3.1线性方程组的公式解4.3.2齐次线性方程组与.ppt

* * 1.内容分布 4.3.1 线性方程组的公式解 4.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念 4.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件 2.教学目的 1)会用公式解法解线性方程组 2)掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件 3.重点难点 齐次线性方程组有非零解的充要条件 4.3 线性方程组的公式解 4.3.1 线性方程组的公式解 例1 考察线性方程组 (1) (2) 考虑线性方程组 我们把这三个方程依次用 来表示， 那么在这三个方程间有以下关系： 这就是说，第三个方程是前两个方程的结果。因此由中学代数知道，第三个方程可以舍去，亦即方程组和由它的前两个方程所组成的方程组 同解。 若是在这m个方程中，某一个方程 使关系式 同样，把方程组（1）的m个方程依次用 是其它t 个方程 的结果，也就是说，若是存在 t个数 方程组（1）中舍去方程 而把方程组（1）化简. 来表示. 成立,那么我们可以在 定理4.3.1 设方程组（1）有解，它的系数矩阵A和增 广矩阵 的共同秩是 ，那么可以在（1）的m 个方程中选出r 个方程，使得剩下的m –r 个方程中的 每一个都是这r 个方程的结果，因而解方程组（1） 可以归结为解由这r个方程所组成的线性方程组。 证 由于方程组（1）的系数矩阵A的秩是r，所以A至 少含有一个r阶子式 。 为了叙述方便， 不妨假定D位在A的左上角，因而也位 在增广矩阵: 的左上角： 现在我们证明，方程组（1）的后 m -r 个方程中的每 一个都是（1）的前r 个方程 (3) 的结果. 看（1）的后 m -r 个方程中的任一个，例如第 个方程 我们需要证明，存在r 个数 ，使得 亦即使 (4) 为此我们先把 看作是未知量，而来证明线 性方程组（4）有解, 方程组（4）的增广矩阵是 而 的前r列作成（4）的系数矩阵B，我们要计算矩阵B和 的秩。注意， 的列刚好是方程组（1）的增广矩阵 的某些行。这样，矩阵 的左上角的 r阶子 式刚好是 子式D 的转置行列式，因而不等于零： 由于 也是矩阵B的子式，所以矩阵B和 的秩都至少是r，另一方面，矩阵 的任一个r +1阶子式 都是 的某一个r +1阶子式的转置行列式。由于 的秩是r，所以 的所有r +1阶子式都等于零，由此得 必然等于零。但 没有阶数高于r +1的子式，所以B和 的秩都是r，而方程组（4）有解。这样我们就证明了，方程组（1）的后m -r个方程都是（1）的前r个方程的结果，而解方程组（1）归结为解方程组（3）。 假定方程组（1）满足定理4.3.1的条件，于是由定理4.3.1，解方程组（1），只需解方程组（3）。我们分别看 的情形。 方程组（1）的公式解： 若是 ，那么(3)就是方程个数等于未知量个数的一个线性方程组，并且它的系数行列式 ,所以(3)有唯一解，这个解可由克拉默规则给出，这个解也是方程组(1)的唯一解。 现在设 ,这时方程组(3)的前r个未知量的系数所构成的行列式 ，在方程组（3）中把含未知量 的项移到右边， 方程组（3）可以写成： (3’) 暂时假定 是数，那么（3’）变成r 个未知量 的r 个方程。用克拉默规则解出 得 (5) 这里 把（5）中的行列式展开，（5）可以写成 (6) 这里 都是可以由方程组（1）的系数和常数项表示的数。现仍旧把（6）中 看成未知量，那么（6）是一个线性方程组，从以上的讨论容易看出，方程组（6）与方程组（3’）同解，因而和方程组（1）同解。正如用消元法解线性方程组的情形一样，方程组（6）给出方程组（1）的一般解，而 是自由未知量，要求方程组（1）的一个解，只需给予自由未知量 任意一组数值，然后由（6）算出未知量 的对应值，并且（1）的所有解都可以这样得到。 由于（6）的系数和常数项都可以由方程组（1）的 系数和常数项表出，所以（6）或它的前身（5）都 给出求方程组（1）的解的公式。 例2 已知线性方程组 的系数矩阵和增广矩阵的秩都是2，并且行列式 (7) 求解这个方程组的公式，并求出一个解。 由定理4.3.1，解方程组（7）只需解前两个方程，把 作为自由未知量，移到右边，得 用克拉默规则解出 得 即： 令 ，我们就得到方程组的一个解： 用公式来求数字线性方程组的解是比较麻