不等式微课堂.docx

一脚踢出了金元宝1一脚踢出了金元宝据报道，在一个暴雨过后的下午，陕西的一个小学生在放学回家的路上，又蹦又跳，这里踢一脚，那里踢一脚，突然踢出了一个金色的东西，高兴坏了，一路飞奔，把它交给父母，后经文物部门鉴定，这是一个宝贝，一个大宝贝，它竟然是汉高祖刘邦的吕皇后的印鉴。这是文物方面的一个重大发现，真是一脚踢出了金元宝！在数学学习中，在一些不起眼的的地方，在一些不被人（学生也包括老师）重视的地方，我们也可以鼓捣出金元宝呢。由，我们得到一个平凡到不能再平凡的事实：。特别地，当时，我们两边同时除以，，移项可得：。这也是一个宝贝，一个大宝贝，我们把它作为定理：设时，则有：（当且仅当时，不等式取等号）。例1（全国竞赛题）：设，求证：。证明：由定理有：，，，以上不等式相加即得：练习：1.设，求证：。【下一个视频例题】一脚踢出了金元宝2例1：设，求证：。【错解】：由定理有：以上三式相加得：坏了，怎么得到了这么个东西？你不是说定理是一个宝贝吗，难道宝贝失灵了？请你把宝贝仔细看一下，宝贝还有一个重要的机关，那就是等号成立的条件。要保证以上三式同时取等号，则有：即，这与相矛盾，故这样处理，等号无法取到，因此上述解法是错误的。下面我们对定理重新剖析，在此过程中形成解题思路。（1）对定理取等号的条件的理解。不等式等号成立的条件是：，直观形象地说：不等式等号成立的条件是：.（2）为保证例2证明能取等号，需要做适当的变形。注意到例2取等号的条件是：我们这样看:，当等号成立的时候，。变形手法终于破茧而出，昭然若揭了。【正解】：由定理有：，，，以上三式相加得：即。从这两个例题我们领会了一些平凡结论的威力，而这需要同学们不断的思考，揣摩！送大家一句话：处处留心皆学问。练习：1.（2013年全国新课标卷）设均为正数，且，证明：在地板上指挥1马刺主教练波波维奇：在地板上指挥！2014年10月29日，NBA揭幕战，卫冕冠军马刺队主场以战胜小牛队。赛后记者采访了马刺队主教练波波维奇。记者: 马刺以战险胜小牛，请问您是怎么指挥的？波波维奇：在地板上指挥的。记者非常尴尬。波波维奇：我爱你。记者笑着回答：我也爱你。从这简短的对话，我们感受到波波维奇幽默的风格，看到这个直播，观众也是哈哈大笑。例（2014年安徽省高考题）若的最小值为，则实数的值为（）A． B． C． D．现在，我们就在地板上把这个高考题解决掉！也就是说，我们只要用非常基础的知识，非常快速地把这个高考题做出来。在高考的战场上，不仅节约了时间，更重要的是稳定考生情绪，增强考生解题的自信心！基础问题1：当时，有最小值。显然问题的答案为：基础问题2：当时，有最小值。在初中，我们学习了绝对值的几何意义，知道表示数轴上的点到点到的距离；表示数轴上的点到点到的距离；因此显然，当点在线段之间运动时，即，取最小值。基础问题3：当时，有最小值。由基础问题1，当时，取最小值，由基础问题2，当时，取最小值，也就是说，当时，与同时达到最小值，因此，当时，达到最小值，其最小值为。解上面三个问题只需要一些地板知识，而我们现在面对的高考题与它是实质相同的问题。下面我们依样画葫芦给出高考题的解答。首先对函数作变形：由基础问题1，当时，取最小值，由基础问题2，当时在（不需要考虑两者的大小）之间时，取最小值，也就是说，当时，与同时达到最小值，因此，当时，达到最小值，解得：，选D。最后，我们把以上解题过程归纳一下（1）解决一个绝对值的最小值；（2）解决两个绝对值和的最小值；当（1），（2）同时取最小值时，万事俱备，水到渠成，可以考虑：（3）解决三个绝对值和的最小值。著名数学家华罗庚先生曾经说过，“退，足够地退，退到原始又不失重要性的地方。”我们用到的就是老先生的思考方法。练习：1.（2011年山东省高考题）不等式的解集为（）糖水不等式1生活常识的启示：糖水不等式现有一杯（克）糖水，其中含糖（克），它的质量分数为，现在我们再加入（克）糖，则它的质量分数为。前后两杯糖水，我们都应该晓得：后面这一杯糖水更甜了！更甜了是什么意思？从数学角度看，就是质量分数变大了，即于是我们得到：糖水不等式：设，则：。不等式的证明很简单，我们略去，下面我们研究它的应用。例：(2009年山东省高考题) 设，证明：记，记，，，，这种解题方法最先出现在年上海市高考题中，年重新出现，近几年有再次在高考题中出现。练习：1． （1998年全国高考题）已知数列{ }是等差数列, =1, + + ….+ =145。(1).?求数列{ }的通项；(2).?设数列{}的通项=??(其中a1)，记是数列{}的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论.横着走1学着象螃蟹一样行走——横着走我们先看一个简单习题：已知，，求的取值范围。分析：这是一个代数式，从形的角度观