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Ch5 拉普拉斯变换和连续时间系统的复频域分析 本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉氏变换 拉氏变换的收敛域，性质 系统函数和单位冲激响应 S域分析、极点与零点 频率响应，稳定性分析 信号流图与系统模拟 拉氏变换与傅氏变换的关系 5.1.1 Definition——from FT to LT 有几种情况不满足狄里赫利条件： u(t) 增长信号 周期信号 若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛，于是满足狄里赫利条件 收敛域 有始有终信号和能量有限信号时限信号 （如单个矩形脉冲） 5.2 常用信号的拉氏变换 5.3 拉氏变换的基本性质（1） 频移 拉氏变换的基本性质（2） 初值定理 例： 单边正弦余弦信号的拉氏变换 例：衰减余弦的拉氏变换 例：周期信号的拉氏变换 矩形周期信号拉氏变换 抽样信号的拉氏变换 系统的时域特征 以单位冲激信号 作为激励时，系统产生的零状态响应，记作 。 任意时域信号激励时系统的响应 系统的复频域特征—系统函数 是 的拉氏变换 是系统输出和输入各自拉氏变换的比 系统函数 的定义： 定义：系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比叫系统函数或网络函数。 5.8 拉氏变换与傅氏变换的关系 从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号 从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号 从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号 从 的单边拉氏变换求它的傅氏变换 因果 乘衰减因子 发散信号：傅氏变换不存在， 拉氏变换存在 收敛域不包含jw轴，仅由于衰减因子e－?t，使其拉式变换存在 收敛域包含jw轴，其付式、拉式变换都存在，S——jw 存在傅氏变换，但不 收敛于虚轴，不能简单用 ，要包含奇异函数项。 K1=1 * Laplace Transform 因果 象函数 正LT 原函数 逆LT FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度 反变换 单边拉式正变换： 单边拉式反变换： 双边拉式正变换： 双边拉式反变换： Bilateral LT Unilateral LT 5.1.2 收敛条件 在S复平面中，凡能使F(S)存在的S值的范围称为拉式变换的收敛域（ROC）。 1. 单边拉式变换的收敛域 若上式在??0时成立，则函数 f(t) 的拉式变换在 Re[S] ?0的范围内是收敛域的。 收敛域：?0时右侧的阴影部分 Re[S] ?0的范围。 收敛轴： ? ＝?0时的直线， 收敛边界 收敛坐标： ?0 Region of Convergence 整个平面 以 为界 等幅振荡信号和增长信号 不收敛信号 除非 u(t)，tn 的收敛域：S右半平面 收敛，存在双边拉氏变换 没有收敛域。不存在双边拉氏变换 2 双边拉氏变换的收敛域（ROC） bilateral LT 线性 微分 积分 时移 尺度变换 尺度变换 终值定理 卷积定理 频移特性 例：求下式的拉氏变换 解： f1(t)第一周期的 拉氏变换 利用时移特性 利用无穷级数求和 … T 2T 例：周期单位冲激序列的拉氏变换 单位冲激 序列 拉式变换 或利用 … 例：再求周期信号的拉氏变换 周期信号 周期信号 拉式变换为 … T 2T … T 2T 卷积定理 第一周期的 拉氏变换 利用时移特性 利用无穷级数求和 T … 2T T/2 求周期信号的拉氏变换 例1： LT 信号加窗 第一周期 例2 单对称方波 周期对称方波 乘衰减指数 包络函数 频移 抽样序列 抽样序列的拉氏变换 时域抽样 信号 抽样信号的 拉氏变换 例：指数抽样序列的拉氏变换 例：f(t)的拉氏变换为F(S),求其初值和终值 解：f(t)的初值和终值 注意：f(t)=e-at u(t), 若a0,则终值为0 若a0,则终值不存在 如果原信号是等幅震荡或增长的，则其终值不存在。 HW15.1 （1,2,4,6）5.2 (a,d,f)5.3 5.4 (1,3,6,7)5.5 (a,b)5.9 （2，6，7, 10）5.11 5.5