第4篇李亚普诺夫稳定性.PDF

第 4 章 李亚普诺夫稳定性 4.1 引言 一个自动控制系统当受到外界干扰时，它的平衡状态被破坏，但在外界干扰去掉后，它 能自动地回到平衡状态下继续工作，系统的这种性能，称为稳定性。 具有稳定性的系统称为稳定系统。反之为不稳定系统。 1892 年，伟大的俄国数学力学家亚历山大 ·米哈依诺维奇 ·李亚普诺夫 （A. M. Lyapunov ） （1857－1918）经过精心研究，创造性地发表了其博士论文 《运动稳定性的一般问题》，给出 了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论 的基础。 可以应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系 统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。李亚普诺夫 （Lyapunov ） 稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。 虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在 具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时 显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。 本章首先介绍 Lyapunov 意义下的稳定性定义，给出 Lyapunov 稳定性定理，并将其应用 于非线性系统的稳定性分析。然后讨论线性系统的 Lyapunov 稳定性分析问题。 4.2 Lyapunov 意义下的稳定性问题 对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，那么 有许多稳定性判据，如 Routh-Hurwitz 稳定性判据和 Nyquist 稳定性判据等可以利用。然而， 如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。 本节所要介绍的 Lyapunov 第二法 （也称 Lyapunov 直接法）是确定非线性系统和线性时 变系统的最一般的方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外，它还 可应用于线性二次型最优控制等问题。 4.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点 考虑如下非线性系统：  x f (x,t ) （4.1 ） 其中x 为 n 维状态向量，f (x ,t ) 是变量x ，x ， ，x 和 t 的n 维向量函数。假设在给定的初 1 2 n 始条件下，式 （4.1 ）有唯一解(t; x , t ) 。当t t 时，x x 。于是 0 0 0 0 现代控制理论 (t ; x ,t ) x 0 0 0 0 在 （4.1 ）的系统中，若存在 f (x e ,t )  0 ，t （4.2 ） 则称x 为系统的平衡状态或平衡点。 e 如果系统是线性定常的，也就是说f (x ,t ) Ax ，则当 A 为非奇异矩阵时，系统存在一个 唯一的平衡状态；当 A 为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可 有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解 （对所有 t，总存在x x ）。平衡状态 e 的确定不包括 （4.1 ）的系统微分方程的解，只涉及 （4.2 ）的解。 任意一个孤立的平衡状态 （即彼此孤立的平