第七讲机器人的轨迹规划.ppt

或 C 矩阵的结构便于计算未知系数，若时间间隔 ti 为正值， C 的逆矩阵总是存在的。则关节各段关节轨迹多项式系数即可全部求得。 同样，我们可用此方法可计算3—5—3 关节轨迹。 对于末段轨迹，把归一化时间 t 由[-1，0]重新变回[0, 1]，可求出 hn(t) 4-3-4 关节轨迹多项式 3-5-3 关节轨迹多项式 7.3.2 三次样条轨迹（五段三次多项式） 用一组三次多项式插补给定的函数并保证插补点处一阶和二阶导数连续的方法，称为三次样条函数法。所能达到的近似程度和光滑程度是相当好的。 一般来说，样条曲线是在插值点具有 k-1 阶导数连续性的 k次多项式。对于三次样条函数，一阶导数代表速度的连续性，二阶导数代表加速度的连续性。 三次样条函数有某些优点。首先，它是使速度和加速度连续的最低次多项式函数。其次，低次多项式减少了计算量和数值不稳定的可能性。 每段关节轨迹的五段三次多项式的通式为 其中 在应用五段三次多项式插值时，需要有五段轨迹和六个插值点。但是，在前面的讨论中只有四个插值点，即初始点、提升点、下放点和终止点。所以，必须选择另外两个插值点，以便有足够多的边界条件求解各多项式系数。可以在提升点和下放点之间选取这两个额外的结点。 没有必要知道这两个点的确切位置，只要知道时间间隔，以及必须满足这两点速度和加速度的连续性条件。因此，这组关节轨迹分段多项式必须满足的边界条件是： (1) 在初始点、提升点、下放点和终止点的位置约束； (2) 在所有插值点的速度和加速度的连续性。 五段三次关节轨迹的边界条件示于中。其中有下划线的变量是在计算五段三次多项式之前的已知量。 这些多项式对实际时间的一阶和二阶导数为： 式中，tj 是通过第 j 段轨迹所需的实际时间。给定了初始点和终止点的位置、速度和加速度，第一段轨迹和末段轨迹的多项式 h1 (t) 和hn (t) 就完全确定了。—旦算出这两个多项式，就可用位置约束和连续条件求出h2 (t)、 h3 (t) 和 h4 (t) 。 第一段轨迹，基本多项式为 当 t=0 时，由该位置的边界条件，可得 (给定) 由此可得： 当 t=1 时，由此位置的边界条件，可得： 可得 其中，δi= θi –θi-1 。第一段轨迹的多项式就完全确定了。 (给定) 由上式可求出 t＝1时的速度和加速度： 此速度相加速度必须与下一段轨迹起点的速度和加速度连续。 末段轨迹的多项式为（仍做类似代换 ） (给定) (给定) 当t＝0 和t＝1时（对应 和 ），由边界条件，有 由上述方程解出未知系数，最后得到： 给定初始点、提升点、下放点和终止点的位置以及通过每段轨迹所需要的时间 (tj ) 后，五段三次多项式即可唯一地确定，满足所有位置约束和连续条件。 算出以上个多项式，就可用位置约束和连续条件求出h2 (t)、 h3 (t) 和 h4 (t) 。 对于较复杂的机器人系统，为了控制操作机完成作业而设计了编程语言。在这种系统中，作业通常是用操作机手部(或末端执行器)必须通过的笛卡尔结点序列给定的。因此，描述操作机在作业中的运动时，我们就更关心描述操作机手部要达到的目标位置及通过的笛卡尔空间曲线(或路径)的形式。 7.4 笛卡尔路径轨迹规划 一般，实现笛卡尔路径规划可采用下述两个相连的步骤：(1)沿笛卡尔路径，按照某种规则以笛卡尔坐标生成或选择一组结点或插值点；(2)规定一种函数，按某些准则连接这些结点(或逼近分段的路径)。 对于第二步，所选用的准则可以采用两种控制算法，以保证跟踪给定的路径。 (1) 面向笛卡尔空间的方法。在此方法中，大部分计算和优化是以笛卡尔坐标完成的，然后，在手部这一级上进行控制。按固定的取样间隔在预定路径上选择伺服取样点，在控制操作机时实时地把它们转换为与之相应的关节变量。所得到的轨迹是分段直线。 (2) 面向关节空间的方法。这种方法用关节变量空间中的低次多项式函数迫近直线路径上的两相邻结点间的一段路径，而控制是在关节这一级上进行的。所得到的笛卡尔路径是不分段的直线。 Paul 叙述了用一系列直线段构成操作机手部笛卡尔路径的设计方法。把手部在这些直线段中的速度和加速度转换到关节坐标，并用二次插值进行平滑连接，从而实现了手部的规划运动控制。我们将学习如何用该方法设计笛卡尔直线路径。 * * 第七章 机器人的轨迹规划 7.1 机器人规划的定义和作用 7.1.1 概述 　机器人学中的一个基本问题是为解决某个预定的任务而规划机器人的动作，然后在机器人执行完成那些