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鲂 ， 羊 屯 惫袋 枥 ’ 论 卜 。『1／ 时71 r 7 七 啊／ ， ± L／ ／一 』 M arinal~ tne 于 足 n 卜 k 7 定义1． 子集 ACr＼a称为齐性的，如果存在 G中闭子群 H及点 z∈r＼c使得 A：．oH 且 为一个 H-不变 概率测度 日的支集． ＼ 定义2．r＼G上 Borel概率测度 称为代数的，如果存在点 zEr＼c及 G之 闭子群 H，使得zH是齐性的，且 ： 日． 很多子群 U不是齐性轨道的闭包或没有代数遍历测度．然而也有一些子群 U是齐 性轨道的闭包或有代数遍历测度． 记 为 G的李代数，对每个 9∈G，记 A ： — 为9的伴随映射 (它是映射 h一 原题：Interactionsbetweenergodictheory~Liegroupsandnumbertheory 本文下载来源:世纪图书馆 9-h‘g，h∈G，在单位元处的微分)元素 ∈G称为 Ad-半单的，如果 A 在 上可对角 化．元素 “∈G称为Ad一幂么的，如果A 一Id是幂零的 这时Adlr‘：∑n_l(一 ／!) 对所有 ∈z成立，这里 n 0上某个整数， 为 的幂零 自同态．在下面叙述的所 有结果中Ad．r的多项式扮演了决定性的角色，G的子群U是 Ad一幂么的，如果每个 u∈U都是 Ad一幂么的． 定理1．(轨道遍历测度的代数性)设 G为连通李群，u为 由G 的Ad一幂么元生成 的连通子群．则对G的离散子群r，r＼c上每个遍历 U_不变Borel概率测度是代数的． 定理2．(轨道闭包的齐性性)设 G和 u有如定理 L则对 G 的任一格 r及任一元 。∈Ga＼G，在 r＼c轨道 xU的闭包是齐性的． 定理 1和 2给出了M．s．Raghunathan猜想 (在 G是约化李群且 u为 Ad一幂么时 之证明在 …1中)和G．A．Margulis[2，猜想 1，2】，3【，猜想 1，2】的肯定回答一 定理3．(Ad一幂么流的一致分布)设 G是连通李群，r是 G中的格，又 U= {u(t)： ￡∈J 为G的单参数 Ad一于群，则对任意 z∈r＼G，存在 G的闭子群H，使得 可：z日 是齐性的，且 t ／I(xu(s))ds_+／ lduu 对 r＼c上每个有界连续函数，成立 定理 3是 Margulis在 [3，猜想 3和 4】中提出的猜想． ． 我们讨论了用于证明定理 1．3和这些定理的进一步推广 (见 101)的思想和方法 也得到了由其他作者给出的早期工作． 在数论上的应用 定理A1(Margttlis)设 B(z1，… ，￡)为 ％个变数的实非退化不定二次型，n 3 设B的某两系数之比为无理数．则B在整点的值集在R中稠密． 这是在 1986年 Margulis[2】证明的 Oppenhein猜想的内容．事实上，Raghunathan 已经注意到为了得到这个定理，我们只要对 G=SL(3， 及 U：8o(2，1)证明定理 2 的弱形式就行了．这事 由Margulis完成，由于定理 2远强于 Margulis证 明的情形，这允 许我们去简化他的证明．从而也使我们能得到Margulis的定理的更强的推广，且可推广 到一般数域的二次型上．近来这 已由A．Borel和 G．Prasad做了． 应用于遍历理论． 定理A2 (刚性定理)设 Gi为连通李群，r，为 G。中格且不包含 G 之非平凡正规子 群，i=1，2．设 u(’)为 G 的Ad一幂么元，它遍历地作用于尬 = ＼G，上，尬 有G一不 变 Borel概率测度 ．