2011秋 随机过程（第一章）.pptVIP

1.6 条件数学期望 定义1.6.1 设(X,Y)是离散型二维随机变量，其联合分布律为P(X=xi,Y=yi)=pij，i,j=1,2,…,如果 则称为(X,Y)关于X在Y=yj的条件下的条件分布律. 1.6 条件数学期望 如果 则称为(X,Y)关于Y在X=xi的条件下的条件分布律. 称为(X,Y)关于X在Y=yj的条件下的条件分布函数.称为(X,Y)关于Y在X=xi的条件下的条件分布函数. 1.6 条件数学期望 对于连续型二维随机变量，由于对于任意的x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0,因此就不能直接用条件概率公式引入条件分布函数了.下面我们用极限的方法来处理.给定y，设对于任意固定的正数ε，P(y-εY≤y+ε) 且若对于任意的x，有上式给出了在条件y-εY≤y+ε下X的条件分布函数. 1.6 条件数学期望 定义1.6.2 给定y，设对于任意固定的正数ε，P(y-εY≤y+ε)0，且若对于任意 实数x ,极限存在，则称此极限为(X,Y)关于X在条件Y=y下的条件分布函数，记为P(X≤x|Y=y)或是FX|Y(x|y) 1.6 条件数学期望 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，联合概率密度函数为 f(x,y)，若在点(x,y)处 f(x,y)连续，边缘概率密度函数fY(y)连续，且fY(y)0，则有 1.6 条件数学期望 即所以(X,Y)关于X在条件Y=y下的条件概率密度函数为类似地，条件分布的概念完全可推广到n维随机变量的情形 1.6 条件数学期望 定义1.6.3 设(X,Y)是二维随机变量， FX|Y(x|y) , FY|X(y|x)分别是X和Y的条件分布函数，则称为X在条件Y=y 下的条件数学期望.称为Y在条件X=x 下的条件数学期望.由于E(X|y)是随机变量Y 可能取值y的函数，因此E(X|Y)是随机变量Y的函数，称为X在条件Y下的条件数学期望； 类似地，称随机变量X的函数E(Y|X) 为Y在条X下的条件数学期望. 1.6 条件数学期望 若X,Y是离散型随机变量，其可能取值分别是x1,x2,… 和  y1,y2,…，则 若X,Y是连续型随机变量，则 1.6 条件数学期望 定义1.6.4 设X=(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量， 为Xi的条件分布函数,则称为Xi在条件X1=x1,…,Xi-1=xi-1,Xi+1=xi+1,…,Xn=xn下的条件数学期望.称E(Xi|X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn)为Xi在条件X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn下的条件数学期望。 1.6 条件数学期望 定理1.6.1 E(E(Xi|X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn))=EXi 定理1.6.2 设X1,X2,…,Xn相互独立，则 E(Xi|X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn)=EXi 定理1.6.3 设X=(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量，g(x1,…,xi-1,xi+1,…,xn)是连续函数，则 E(Xig(X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn)| X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn) = g(X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn) E(Xi|X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn) 1.6 条件数学期望 定理1.6.4 设X=(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量，kn-1则 E(E(Xn|X1,…，Xn-1)|X1,…,Xk)=E(Xn|X1,…,Xk) 例1.6.1 一矿工被困在矿井中，要到达安全地带，有三个通道可供选择.他从第一个通道出去要走3个小时可到达安全地带，从第二个通道出去要走5个小时又返回原处，从第三个通道出去要走7小时也返回原处。设在任一时刻都等可能地选中其中一个通道，试问他到达安全地带平均要花多长时间。 1.6 条件数学期望 解 设X表示矿工到达安全地带所需时间，Y表示他选定的通道，则EX=E(E(X|Y)) =E(X|Y=1)P(Y=1)+E(X|Y=2)P(Y=2)+E(X|Y=3)P(Y=3) =所以EX=15. 1.6 条件数学期望 例1.6.2 设某日进入某商店的顾客人数是随机变量N，