D2数列的极限.pptVIP

数学语言描述: 一 、数列极限的定义 引例. 设有半径为 r 的圆, 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知 当 n 无限增大时, 无限逼近 S . 当 n N 时, 用其内接正 n 边形的面积 总有 (刘徽割圆术) 任意选取 存在 定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : 即 或 则称该数列 的极限为 a , 例如, 趋势不定 收 敛 发 散 例1. 已知 证明数列 的极限为1. 证: 欲使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 例2. 已知 证明 证: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 N 与 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 例3. 设 证明等比数列 证: 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n N 时, 就有 故 的极限为 0 . 二、收敛数列的性质 证: 用反证法. 及 且 取 因 故存在 N1 , 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾, 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 例4. 证明数列 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 则存在 N , 但因 交替取值 1 与－1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时, 有 因此该数列发散 . 2. 收敛数列一定有界. 证: 设 取 则 当 时, 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立. 例如, 虽有界但不收敛 . 有 数列 3. 收敛数列具有保号性. 若 且 有 则 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 例如， 发散 ! 则原数列一定发散 . 说明: 三、极限存在准则 1. 夹逼准则 (准则1) (P50) 证: 由条件 (2) , 当 时, 当 时, 令 则当 时, 有 由条件 (1) 即 故 例5. 证明 证: 利用夹逼准则 . 且 由 [P56 4(2)] 2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 ) ( 证明略 ) 例6. 证明数列 极限存在。 [P56 4(3)] 由单调有界必有极限，即可证明。 可用数学归纳法证 内容小结 1. 数列极限的 “ ? – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 3. 极限存在准则: 夹逼准则 ; 单调有界准则 ; *柯西准则 思考与练习 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知 , 求 时, 下述作法是否正确? 说明理由. 设 由递推式两边取极限得 不对! 此处 作业 P30 1, *3 (2) P56 4 (1) , (3) 刘徽(约225 – 295年) 我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的《重 差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要 极限思想 . ? 的方法 : 柯西(1789 – 1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠基人之一, 他为微积 分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , * * 运行时, 点击“（刘徽割圆术）”, 或按钮“刘徽”, 显示刘徽简介,并自动返回. 此处要点明极限精确语言的四句话。必要时间用荧光笔画出来。 * 再次点明4句话。 * * 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 第二节 数列的极限 目录 上页