0-2多维随机向量.ppt

湘潭大学数学与计算科学学院 二项分布 如果随机变量 X 的分布律为 二、边缘分布 三、随机变量的独立性 例 （正态随机变量的独立性） 四、条件分布与条件数学期望 条件密度函数的性质 条件概率 ? 链规则（Chain Rule） 链规则推广 条件概率的定义 递归定义： 例1.9 五、多维随机变量的数字特征 定义 条件分布的数学期望称为条件数学期望. 它可用条件分布计算得 例 X表示中国成年人的身高，则E(X)表示中国成年人的平均身高， 我国公安部研究得 条件数学期望是条件分布的数学期望,故具有数学期望的一切性质,如 证明 仅对连续场合证明(3),设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),则 例 设走进某百货商店的顾客是均值为35000的随机变量，顾客在商店消费的钱数是相互独立、均值为52元的随机变量，并且任一顾客所消费的钱数与进入该商店的总人数也相互独立，问该商店一天的平均营业额为多少？ ( ) ( ) r N Y X ， ， ， ， ， 2 2 2 1 2 1 ~ s s m m ( ) 的联合密度函数为 ， 则 Y X ( ) 服从二元正态分布： ， 设二维随机变量 Y X 的边缘密度函数为 随机变量 Y §1.1 多维随机变量及其分布 一. 随机向量的定义 随机向量主要用来描述用一维随机变量不能 完全刻划的随机现象。 例如，随机地抽出一张扑克牌：它具有花色与点数这两个离散随机属性 ； 导弹的落点与目标之间的误差：由两个连续随机变量组成的二维随机向量 ； 以及更一般的多维随机向量 。 1. 二维随机向量 如果 X 、Y 都是定义在同一个样本空间中的 随机变量，则它们构成的向量 ( X ,Y ) 就称为一个 二维随机向量。 2. n 维随机向量 定义在同一样本空间中的随机变量 X1 ,X2 ,…,Xn 构成的向量 ( X1 ,X2 ,…,Xn ) 称为一个 n 维随机向量。 随机向量 ( X ,Y ) 的概率性质除了与每一个分量 有关外，还依赖于这两个分量之间的相互关系。 n元分布函数具有以下性质： ⑶、 例1 多项分布(Multinomial Distribution) 二项分布的概率背景 进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中 令 X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数． 一元正态分布 的概率密度函数为 二维正态分布 若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度 二维正态分布的图形 显然，共有 个k维边缘分布函数 X Y 1 2 3 4 1 1/4 0 0 0 2 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 4 1/16 1/16 1/16 1/16 pi · = P { X = xi } p· j = P {Y = yj } 1/4 1/4 1/4 1/4 25/48 13/48 7/48 3/48 1 例 二维离散随机向量的边缘分布律 注：边缘分布函数由联合分布函数惟一确定；反之不然，即不同的分布函数可能有相同的边缘分布函数。 例 设有两个二元分布函数F(x,y)和G(x,y)，密度函数分别为 显然,F(x,y)和G(x,y)不恒等。但它们的边缘密度函数分别为 ( X ,Y ) ~ N ( ?1,?2 ;?12 ,?22 ;? ) 其中 – ∞ ＜ x，y ＜ + ∞，参数 – ∞ ＜ ?1,?2 ＜ + ∞；?1 ,?2 ＞ 0；– 1 ＜? ＜1 二维正态分布 则 X ~ N ( ?1 ,?12 ) ，Y ~ N ( ?2 ,?22 ) 。 二维正态的两个边缘分布都不依赖于参数 ? 。 注意：在独立条件下，由随机变量的边缘分布可惟一确定其联合分布函数。 即联合分布密度函数等于边缘分布密度函数之积。 显然，相互独立性可推得两两独立性，反之不然。 ( ) 的联合密度函数为 ， 则 Y X ( ) ( ) r N Y X ， ， ， ， ， 设二维随机变量