1.一元多项式的带余除法.ppt

* 《线性代数(2)》序 言 一、教学参考书 [1] 许甫华编, 线性代数(2)学习指导, 清华大学出版社, 2003 [2] 俞正光等编, 线性代数与空间解析几何学习指导: 典型 例题精解, 科学出版社, 2003年. 二、教学与辅导 可在网络学堂下载本讲稿 欢迎网络学堂上提问讨论 答疑从第2周起, 每周四下午5:00～6:00, 理科楼A107 讨论课: 第5、7、9、11、13周 三、作业与考试 成绩 作业: 30%: 每周四以班为单位提交上周作业 期末: 70% 四、学习中要注意的问题 提前预习, 体会思路, 掌握基本内容. 在此基础上: 多动手, 勤思考, 深入体会思想方法: 自己 动手推证书中每个结果尽量体会结论、证明的思想方法 用自己喜欢的方式写出简要总结(包括习题中重要结论). 五、学习要求 1. 按时上课, 不要迟到. 2. 课堂内可以喝水, 但不许吃东西. 3. 上课期间不许接听手机. 手机必须置于无声状态. 4. 有问题请招手示意或大声提问. 5. 独立完成作业. 6. 及时反映对课程的建议或意见. 六、线性代数(1)回顾 研究对象 线性代数的核心: 空间与变换 对空间的认识分局部和整体: 局部: 向量的线性关系 整体: 基, 维数, 内积, … 对空间的研究方法: 直接: 研究抽象的向量 间接: 化为坐标来研究 线性代数中变换分两类: 空间结构类与空间变换类 空间结构类: 基变换引起坐标变换 空间变换类: 线性变换 思想方法 结构化: 向量组的极大无关组 解空间基础解系 空间的基 标准型: 矩阵相抵, 合同, 相似标准形 二次型的标准形与规范形 研究工具 行列式 矩阵 线性方程组 第一讲 一元多项式的带余除法 定义1 设 F 为一个数域, x 是不属于 F 的任一个符号 (或文 字), 则形式表达式 称为 F 上的符号(或文字) x 的一元多项式, 其中 若 则 n 称为其次数, 记为 deg f = n. 我们约定两个多项式相等 ? 它们的次数相等, 且各同次项 系数均相等, 并约定 deg 0 = -?. 数域上的符号 (或文字) x 的形式多项式与中学代数中的多项 式 (x 是变量) 没有本质的区别. 例1 设 F 是一个数域, 对任意一个非负整数 n, 有 线性无关. 证明 用反证法, 若不然, 存在不全为零的 a0, a1,?, an?F, 使得 a0+a1x+?+anxn = 0, 则 F 中任意 n+1 个不同的数 c1, c2,?, cn+1 是 a0+a1x+?+anxn 的根, 所以 所以 a0 = a1 =?= an = 0, 与a0, a1,?, an 不全为零矛盾. 数域 F 上多项式全体记为 F[x], 在 F[x] 中定义加法和乘法： 定理1 deg ( f ? g) ? max{deg f, deg g}. 定理2 deg( fg) = deg f +deg g. 证明 不妨设 f(x) ? 0, 且 g(x) ? 0, 则 f(x) 和 g(x) 的首项系 数均 ? 0, 而 f(x)g(x) 的首项系数等于 f(x) 的首项系数乘以 g(x) 的首项系数 ? 0, 故 deg( fg) = deg f +deg g. 定理3 设 F 为一个数域, F[x] 中的多项式乘法有消去律. 证明 ?f(x), g(x), h(x)?F[x], 若 f(x)g(x) = f(x)h(x), 且 f(x) ? 0, 则 g(x) = h(x). 反证法: 若 g(x) ? h(x), 则 g(x)-h(x) 的 首项系数 ? 0, 而 f(x)(g(x)-h(x)) 的首项系数等于 f(x) 的首 项系数乘以 g(x) 的首项系数 ? 0, 与 f(x)g(x) = f(x)h(x) 矛盾, 故 g(x) = h(x). 证毕 易证多项式的加法和乘法有结合律, 交换律, 乘法对加法有 分配率. 例如乘法结合律： 带余除法定理 设 F 是一个数域, 则 ?f(x), 0 ? g(x)?F[x], 总存在 q(x), r(x)?F[x], 使得 f(x) = g(x)q(x) + r(x), 这里 deg r(x) d