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九年级数学(下)第三章 圆 3.2 圆的对称性(第一课时) 问题 垂直于弦的直径有什么特点？ AB是⊙O的一条弦. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. 垂径定理三种语言 定理 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧. 问题 平分弦的直径有什么特点？ AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. 垂径定理的逆定理三种语言 本节课你学到了那些知识，有什么收获？ 垂径定理三种语言 定理 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所的两条弧. 垂径定理的逆定理三种语言 挑战自我填一填 挑战自我垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗? 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: * 3.2圆的对称性 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ ●O 你是用什么方法解决上述问题的? 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. ●O 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 大于半圆的弧叫做优弧 小于半圆的弧叫做劣弧 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦 直径:经过圆心的弦叫做直径 直径是弦，但弦不一定是直径； 半圆是弧，但弧不一定是半圆； 半圆既不是劣弧，也不是优弧 注意： 圆的相关概念 弧,弦,直径 ③AM=BM, 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. ●O 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 小明发现图中有: A B C D M└ 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 即 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所的两条弧. A B C D ●O M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 练习：在⊙O中，OC垂直于弦AB， AB = 8，OA = 5， 则AC = ，OC = 。 ┏ 5 8 4 3 4 3 ②CD⊥AB, 过点M作直径CD. ●O 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 小明发现图中有: C D 由 ① CD是直径 ③ AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ● A B ┗ 平分弦的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. M ●O A B C D ∴ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径 AM=BM ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧. M 例1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD,点0是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE垂直于CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。 E O D C F 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. ●O 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 大于半圆的弧叫做优弧 小于半圆的弧叫做劣弧 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦 直径:经过圆心的弦叫做直径 直径是弦，但弦不一定是直径； 半圆是弧，但弧不一定是半圆； 半圆既不是劣弧，也不是优弧 注意： 圆的相关概念 弧,弦,直径 A B C D ●O M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. ●O A B C D ∴ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径 AM=BM ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧. M 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。 推论（1） （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 垂径定理 记忆 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 注意 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 . C D A B O