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例10 函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则 A. f(x)是偶函数 B. f(x)是奇函数 C. f(x)=f(x+2) D. f(x+3)是奇函数 由 f(x-1)是奇函数知 f(x)的图像关于(-1,0)对称, 由f(x+1)是奇函数知 f(x)的图像关于(1,0)对称,故函数f(x)是周期为4的周期函数, f(x+3)= f(x-1)是奇函数. 排除A. 例11 定义在R上的函数f(x)满足 则f(2009)的值为 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 例12 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3, x4, 则x1+x2+x3+ x4 = . 由奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),可得f(4-x)=f(x),即 f(2-x)=f(2+x),且f(x-8)=f(x),可知函数f(x)的图像关于直线x=2对称,且f(x)为周期T=8的周期函数.又f(x)在区间[0,2]上是增函数,故在区间[-2,0]上也是增函数. 如图,方程 f(x)=m(m0)在区间[-8,8]上的四个不同的根x1,x2,x3, x4, 满足x1+x2=-12,x3+x4=4,故x1+x2+x3+ x4= -8. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 例13 用n个不同的实数a1,a2,…,an可得到n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个n!行的数阵.对第i行ai1 ,ai2 ,…,ain ,记bi= -ai1 +2ai2 –3ai3+…+(-1)nnain .i=1,2,3,…, n! .例如:用1,2,3可得数阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以 ,则在用1,2,3,4,5形成的数阵中,b1+b2+ …+ b120= . 由于此数阵中每一列 各数之和都是 24×(1+2+3+4+5) = 360, 因此所求的 b1+b2+…+b120 =360 ×(-1 +2-3+4-5) =-1080. 三.推理论证能力 根据已知的事实和已获得的正确数学命题,论证某一数学命题的真实性的能力.推理是数学思维的基本形式,贯穿于数学学习与解题过程的始终.论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的正确性的一连串的过程. 推理既包括合情推理,也包括演绎推理.论证方法既包括按形式划分的归纳法和演绎法,也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般说来,运用合情推理探索和发现结论,再运用演绎推理进行证明. 例14 观察下列式: 由以上等式推测一个一般的结论:对于n∈N*, . 3,7,11,15, …,4n-1; 1,3,5,7, …,2n-1; 例15 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行. 类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件① ; 充要条件② . 例16
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