数学分析开场白与预备知识.pptVIP

三、初等数学与高等数学的区别 17世纪以前的数学称为初等数学，研究的是常量间的代数运算和孤立的、不变的几何形体内部及相互间的关系。 初等数学主要采用形式逻辑法，静止地、孤立地、一个一个地 进行研究；高等数学则是以运动的、变化的观点去研究问题。 数学分析是一门非常重要的基础理论课，它对后续课程有直接影响，关系到整个专业基础课学习的成败、关系到同学们的素质培养，对同学将来从事专业科学研究起着非凡的作用，其核心内容是微积分。 微积分对科学技术的重要性就象望远镜之于天文学，显微镜之于生物学。 微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是科学史上的一个创举。 作为数学教授的大学校长： 丁石孙——北京大学 苏步青——复旦大学 谷超豪——中国科大 潘承洞——山东大学 齐民友——武汉大学 伍卓群——吉林大学 侯自新——南开大学 李岳生——中山大学 曹策问——郑州大学 杨思明——湘潭大学 展 涛 ——山东大学 黄达人——中山大学 吴传喜——湖北大学 周明儒——徐州师大 王梓坤——北师大 陆善镇——北师大 王建磐——华东师大 史宁中——东北师大 路 钢——华中师大 邱玉辉——西南师大 王国俊——陕西师大 预备知识--实数系统 1. 实数系扩充历史 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前。 分数（有理数）是“分”出来的，早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数。 无理数是“推”出来的，公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”。 负数是“欠”出来的，它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的。我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则。 1843年爱尔兰数学家哈密尔顿 发现有序四元实数组完全可以组成一个数系——叫“四元数”，这是一个乘法不满足交换律的数系。 1847年，英国数学家凯莱进一步发现了八元数。这个数系的乘法不满足交换律，也不满足结合律。 3. 数系扩充的科学道理 逆运算在数系的扩充中扮演着极为重要的角色： 逆运算的运算法则来源于正运算，因此比正运算困难，以致可能出现无法进行的现象，从而必须引进新东西，使数系得以扩展。 自然数中减法产生0和负数，? 整数系统； 整数中除法产生分数， ?有理数系统； 自然数中开方产生无理数， ?实数系统； 负数中开方产生虚数， ?复数系统。 4. 实数的结构 实数中正、负数、有理数都是容易被认识的，而无理数则是神秘的、复杂的、难以被认识的； 实数中，整系数代数多项式的根叫代数数，例如，1，1/2，31/2，其中有理数是整系数一次多项式的根； 实数中不是代数数的数叫超越数，例如，?，e。 5. 数集的地位 在这里： 1. 有理数的代数属性 有理数集是最小的数域 有理数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合律与交换律，并且满足乘法对加法的分配律，具有这种性质的数集叫做数域。 有理数在数轴上是稠密的、和谐的。 稠密性：任意两个有理数之间，必然存在第三个有理数，而不管这两个有理数有多么接近。 和谐性：有理数之间相处得亲密无间，对任意一个给定的有理数，永远找不到一个与之最接近的有理数。 2. 有理数的几何属性 3. 有理数的集合特点 有理数是可数的——与自然数一样多 比较两个有限数量的东西孰多孰少的基本思想是直接或间接的一一对应。 1874年起，德国数学家康托开始研究这类问题，他将一一对应的思想应用于比较无穷集的元素多少问题。 康托（Georg Cantor; 1845—1918） 先数数偶数 这个世界上，正偶数多一些，还是正整数多一些呢？ 再数数平方数 这个世界上，平方数多一些，还是正整数多一些呢？ 可数集 整数、格点与有理数的比较 4. 有理数的长度为0 有理数在数轴上所占的长度为0 如果我们采取某种手段将全体有理数在数轴上挤压在一起，使其彼此之间没有重叠、也没有缝隙，它们能占用多大的长度？ 有理数们，排出来！ 每“人”发一顶帽子戴一戴！ 量一量有理数帽子总宽度！ 总结一下… 1. 实数理论的建立 由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有理数进行扩充，关于极限的运算就无法进行，从而也就不会有微积分。 有理数扩充的直接结果是实数集。 关于实数，长期以来，人们只是直觉地去认识：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，有理数与无理数统称为实数。 19世纪，德国数学家 康托（G. Cantor, 1845---1918）、 戴德金(J. W. R. Dedekind, 1831—1916) 、 魏尔斯特拉斯