数值解法习题第一题剖析.doc

1：对均匀绝热杆中的温度变化问题 用分量变量法验证解析解为 并取，分别用显示格式和隐式格式求解，比较数值解的精度。 首先分量变量法验证解析解， 令， 设解的形式为代入方程有 两边同除XT设分离常数为 有， 在分离边界条件有 = ，= 解固有值问题 当时，没有非平凡解 设 由得 . 再解,得 , , 为任意常数 由叠加原理 , , , , 为任意正整数取为奇数得 , 从而可知该解析解为 . 下面分别用显式格式和隐式格式求解. 显式格式 第一步，建立显式格式 则有 ， 其中. 第二步，唯一性 取.由于 其中为三对角矩阵， 所以该差分格式解唯一。 第三步，截断误差，误差分析 ， 由（3）-（4）得，截断误差 所以，该差分显式格式精度为，时间一阶，空间二阶的. 第四步，相容性，稳定性分析 相容性:当时，,故差分格式相容。 稳定性:根据Fourier变换得，即每个分量考虑为，其中表示任一波数分量。将分量代入（2）式中，得到 增长因子 该格式稳定需要满足，则.即显格式条件稳定，稳定条件为 第五步:数值模拟 我们取空间步长，空间步数为，时间步长,总时间取. 画出的图形为 隐式格式 第一步，建立显式格式 则有 ， 其中. 第二步，存在唯一性 取.由于 其中为三对角矩阵， 所以该差分格式解唯一。 第三步，截断误差，误差分析 ， 由（7）-（8）得，截断误差 所以，该差分显式格式精度为，时间一阶，空间二阶的. 第四步，相容性，稳定性分析 相容性:当时，,故差分格式相容。 稳定性:根据Fourier变换，将分量代入（6）式中，得到 增长因子，故隐格式绝对稳定. 第五步:数值模拟 我们取空间步长，空间步数为，时间步长,总时间取.算出U的值为： 画出的图形为 解析解的求解 我们取空间步长，空间步数为，时间步长,总时间取.在该条件下每个节点的x和t带入，求出函数u矩阵，画出的图形为 四、结果分析 我们用显、隐式格式求出的结果和解析解求出的结果作对比: 用表示差分格式解和解析解的误差，做出图像。从图像可以看出该题目利用显式，隐式及解析解做出的结果及图像基本一致，数值解和解析解误差最大为，所以可以接受。但在边界值处理上稍显不足，最终导致解析解在边界处取值不合理，此问题也是日后要进一步解决的难题。 在计算中发现用显格式计算虽然计算简单，但条件稳定，受限，只能取很小，这样如若算较大的T，则需要取很大的时间步数N，不符合实际应用;而在做该题目中用解析式求给定节点的函数值耗时较长.这样不利于计算;所以对于该题目隐格式较为理想。 2：用迎风格式和Lax-Wendroff格式近似无粘Burger方程的初边值问题 迎风格式 第一步，建立迎风格式的差分格式 , . 由 ，得到 .n 所以，原微分方程的初边值问题的差分格式为 第二步，唯一性 设是通量函数， 其中 是上对角矩阵，所以差分方程的解是唯一的。 第三步，截断误差，误差分析 设是通量函数，则 ， 由（1）（2）得 . 所以截断误差为 . 是时间一阶，空间一阶的。 第四步，相容性，稳定性分析 相容性： 当时，，所以上述迎风格式与原方程是逐点相容的。 稳定性： . 令， 则 , , , ,由得 当时，原差分格式是稳定的。所以迎风格式是条件稳定的。根据Lax等价定理，迎风格式的收敛条件为. 第五步，数值模拟。 运行结果： Burger b = Columns 1 through 10 2.0606 2.0612 2.0612 2.0612 2.0612 2.0612 2.0612 2.0612 2.0612 2.0612 2.1444 2.1489 2.1489 2.1489 2.1489 2.1489 2.1489 2.1489 2.1489 2.1489 2.2318 2.2443 2.2443 2.2443 2.2443 2.2443 2.2443 2.2443 2.2443 2.2443 2.3231 2.3485 2.3485 2.3485 2.3485 2.3485 2.3485 2.3485 2.3485 2.3485 2.