数值分析05常微分方程数值解剖析.ppt

为获得更高的精度，应该如何进一步推广？ ) ... , ( ... ... ) , ( ) , ( ) , ( ] ... [ 1 1 2 2 1 1 2 32 1 31 3 3 1 21 2 2 1 2 2 1 1 1 - - + + + + + + = + + + = + + = = + + + + = m m m m m m i m i i i i i i m m i i hK hK hK y h x f K hK hK y h x f K hK y h x f K y x f K K K K h y y b b b a b b a b a l l l 其中?i ( i = 1, …, m )，?i ( i = 2, …, m ) 和 ?ij ( i = 2, …, m; j = 1, …, i?1 ) 均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。 考虑一阶常微分方程初值问题 将区域[a,b]进行分划： 若 则 n级显式Runge-Kutta方法 二阶Runge-Kutta方法 取n=2 记 由此得 另一方面 为使局部截断误差为 ,应取 改进的Euler方法 取 中点方法 取 二阶Heun方法 取 二级Runge-Kutta方法不超过二阶 记 则 因此局部截断误差只能达到 三级Runge-Kutta方法 取n=3 记 * * （Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ） 常微分方程分为 （1）初值问题 （2）边值问题 一、初值问题的数值解法 §1 引 言 一阶常微分方程初值问题的一般形式是: 称 在区域D上对 满足Lipschitz条件 是指: 二、初值问题解的存在性 ? 考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */: 则上述IVP存在唯一解。 只要 在 上连续,且关于 y 满足 Lipschitz 条件， 即存在与 无关的常数 L 使 对任意定义在 上的 都成立， 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1… xn= b 处的近似值 采用离散化方法。 称节点间距 为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。 三、初值问题的离散化方法 离散化方法的基本特点是依照某一递推公式， 值 ,取 。 按节点从左至右的顺序依次求出 的近似 如果计算 ，只用到前一步的值 ，则称这类方法为单步方法。 如果计算 需用到前r步的值 , ,则称这类方法为r步方法。 §2 欧拉方法 /* Euler’s Method */ ? 欧拉公式(单步显示公式）： 向前差商近似导数 记为 x0 x1 亦称为欧拉折线法 /* Euler’s polygonal arc method*/ 　　　在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) ? yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。 定义 　　　若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该 算法有p 阶精度。 定义 ? 欧拉法的局部截断误差： Ri 的主项 /* leading term */ 欧拉法具有 1 阶精度。 例1: 用欧拉公式求解初值问题 取步长 。 解: 应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为： 其中 。 计算结果列于下表： 可用来检验近似解的准确程度。 进行计算，数值解已达到了一定的精度。 这个初值问题的准确解为 ， 从上表最后一列，我们看到取步长 ? 欧拉公式的改进： ? 隐式欧拉法 /* implicit Euler method */ 向后差商近似导数 x0 x1 )) ( , ( ) ( 1 1 0 1 x y x f h y x y + ? 由于未知数 yi+1 同时出现在等