2.1一元多项式的定义和运算.ppt

第二章 多项式 * 数学与计算机科学学院高等代数课件 * * 代数是搞清楚世界上数量关系的工具。 ――怀特黑德 当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。 - -柯普宁(前苏联哲学家) 2.1 一元多项式的定义和运算 2.2 多项式的整除性 2.3 多项式的最大公因式 2.4 多项式的分解 2.5 重因式 2.6 多项式函数 多项式的根 2.7 复数和实数域上多项式 2.8 有理数域上多项式 2.9 多元多项式 2.10 对称多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 一、教学内容 2.1.1 多项式的定义 2.1.2 多项式相等 2.1.3 多项式的次数 2.1.4 多项式的运算 二、教学目的 掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质。 三、重点、难点 一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运 算性质。 2.1.1 多项式的定义 定义1 数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式 其中n是非负整数而 都是数环R中的数。 在多项式 中， 叫做零次项或常数项 叫做一次项 次项， 叫做 叫做 次项系数 一元多项式常用符号 来表示。 例如： 都是x的多项式。 规定： ①若是某个i次项的系数是1，那么这个1可以省略不写； 问：下列各式是不是x的多项式？ 2.1.2 多项式相等 定义2 若是数环R上两个一元多项式 f (x) 和g (x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x)和g (x)就说是相等 。记为 f (x) = g (x)。 例如： ②在一个多项式中，可以任意添上或 去掉一些系数为零的项。 规定： 一个数环R上系数不全为零的多项式可以唯一 地写成 于是，我们可以对多项式引入次数的概念。 2.1.3 多项式的次数 的次数， 叫做多项式 定义3 的最高次项,非负整数n叫做多项式 记作 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0。 零多项式没有次数。以后谈到多项式 的次数时， 总假定 我们在初等代数中曾经学习过多项式的加法、减法及乘法。两个多项式相加（或相减）就是把它们的同次项的系数相加（或相减）。两个多项式相乘就是把第一个多项式的各个单项与第二个多项式的各个单项分别相乘，然后合并同次项。 2.1.4 多项式的运算 一、多项式的加法 给定数环R上两个多项式 并且设m ≤ n, f (x) 与g (x) 的和指的是 这里当m n 时， 于是，可定义多项式的减法为 求多项式的和的运算叫做多项式的加法运算。 二、多项式的乘法 给定数环R上两个多项式 f (x) 与g (x) 的积指的是 这里： 其中： （1）加法交换律: （2）加法结合律: （3）乘法交换律: （4）乘法结合律: 注意： 若把一个多项式按“降幂”书写 当 时， 叫做多项式的首项. 求多项式的积的运算叫做多项式的乘法运算。 三、多项式运算法则 四、多项式次数的运算性质 定理 是数环R上两个多项式,并且 .那么 （i）当 时, （ii） 证明: 且 那么