乘子Hopf代数的L-R Smash余积.pdf

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乘子Hopf代数的L-R Smash余积

数 学 年 刊 2013,34A(6):737-746 乘子 Hopf代数 的L—R Smash余积冰 赵利辉 王彩 虹2 提要 设A是正则乘子Hopf代数,R是A双余模代数,首先定义了A.双余模双代数,并利用它构 造了L—RSmash积的对偶形式,即R0A上一种非平凡的乘子Hopf代数结构,称之为L.RSmash 余积.然后给出了L—RSmash余积上的积分和 十.结构. 关键词 乘子Hopf代数,余作用,双余模双代数,L—RSmash余积 MR (2000)主题分类 16w30,16S40 中圉法分类 O151.21 文献标志码 A 文章编号 1000—8314(2013)06,0737-10 1 引 言 余交换Hopf代数上的L.RSmash积,作为形变量子化的典型例子,由一系列文章 引入并深入研究 [1-4】.随后 Oystaeyen[】研究了它的对偶形式L—RSmash余积,并给出 双代数上 L—RSmash余积的余代数结构,推广了Molnar关于Smash余积的相关理论. 作为Hopf代数重要的自然推广之一,乘子Hopf代数及其作用最早出现在文 f6—71中. 在本文中,我们定义了乘子 Hopf代数中的L.RSmash余积,给出L—RSmash余积成为 乘子Hopf代数的充分条件.然后考察了L—RSmash余积何时具有积分和 一结构.如果 在 L—RSmash余积中右余作用是平凡的,文 [8]中关于 Smash余积的主要结论就是本文 定理2.1的特殊情况. 下面我们回忆一些与乘子Hopf代数有关的基本定义. 设 A是一个有或没有单位元的代数,M(A)表示 A的乘子代数.如果由n6=0(对 任意的b∈A)可得 a=0,并且由ab=0(对任意的a∈A)可得 b=O,则称 上的乘 积是非退化的 (non—degenerate),同时可得到从 到M(A)的自然嵌入.容易看出如果A 有单位元,则A上的乘法是非退化的且有 A=M(). 上的余乘是一个代数同态△: 一M(A0 ),使得A(a)(1oh),(n01)A(b)∈A~A 并满足如下余结合性t (a 101)(△Qid)(△(6)(1Qc)):(idOA)(aQ1)△(6))(1O10c). 设A是带有非退化积的代数,△是 上的余乘.定义线性映射 ,T2:A~A—AQA, 使得对任意的a,b∈A, (a b)=A(a)(1Ob),T2(a b)=(a01)A(b). 如果 , 是双射,则称 为乘子Hopf代数 (multiplierHopfalgebra),记为 (,△).如 果 盯△也是 的余乘,并使得 (A,△)是乘子Hopf代数,则称 是正则的(regular). 设 和B是两个带有非退化积的代数, :A—M (B)是代数同态,如果B作为 线性空间既可由咖(n)b张成又可由6西(n)张成,则称映射 是非退化的. 本文2011年 12月21日收到. 河南科技大学数学与统计学院,河南 洛阳471023;浙江大学数学系,杭州310027. E—mail:lihuizhaos@126.com 。河南理工大学数学与信息科学学院,河南 焦作454000.E—mail:wwcamong@yahoo.com.ca 本文受到国家自然科学基金 (No和河南科技大学博士科研启动基金 (No的资助 数 学 年 刊 34卷A辑 本文中A表示数域k上的正则乘子Hopf代数,其上的对极是可逆的,而且是从A到A 的映射[9].乘子Hopf代数中的Sweedler记号已经被多次应用,如文 [7—10].所以在本文中 如果余乘是被 “良覆盖”的7【】j我们也将应用此记号并把余乘写为△(0)(16):Eal~a2b. 2 L.R Smash余积 在本节中,我们引入乘子Hopf代数上 L—RSmash积的对偶形式L—RSmash余积, 构造了L—RSmash余积上的乘子Hopf代数结构. 首先回忆乘子 Hopf代数中余作用的定义. 定义 2.1[11】设 A是乘子 Hopf代数,R是带有非退化积的代数.若一个代数同态 F:R—M

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