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乘子Hopf代数的L-R Smash余积
数 学 年 刊
2013,34A(6):737-746
乘子 Hopf代数 的L—R Smash余积冰
赵利辉 王彩 虹2
提要 设A是正则乘子Hopf代数,R是A双余模代数,首先定义了A.双余模双代数,并利用它构
造了L—RSmash积的对偶形式,即R0A上一种非平凡的乘子Hopf代数结构,称之为L.RSmash
余积.然后给出了L—RSmash余积上的积分和 十.结构.
关键词 乘子Hopf代数,余作用,双余模双代数,L—RSmash余积
MR (2000)主题分类 16w30,16S40
中圉法分类 O151.21
文献标志码 A
文章编号 1000—8314(2013)06,0737-10
1 引 言
余交换Hopf代数上的L.RSmash积,作为形变量子化的典型例子,由一系列文章
引入并深入研究 [1-4】.随后 Oystaeyen[】研究了它的对偶形式L—RSmash余积,并给出
双代数上 L—RSmash余积的余代数结构,推广了Molnar关于Smash余积的相关理论.
作为Hopf代数重要的自然推广之一,乘子Hopf代数及其作用最早出现在文 f6—71中.
在本文中,我们定义了乘子 Hopf代数中的L.RSmash余积,给出L—RSmash余积成为
乘子Hopf代数的充分条件.然后考察了L—RSmash余积何时具有积分和 一结构.如果
在 L—RSmash余积中右余作用是平凡的,文 [8]中关于 Smash余积的主要结论就是本文
定理2.1的特殊情况.
下面我们回忆一些与乘子Hopf代数有关的基本定义.
设 A是一个有或没有单位元的代数,M(A)表示 A的乘子代数.如果由n6=0(对
任意的b∈A)可得 a=0,并且由ab=0(对任意的a∈A)可得 b=O,则称 上的乘
积是非退化的 (non—degenerate),同时可得到从 到M(A)的自然嵌入.容易看出如果A
有单位元,则A上的乘法是非退化的且有 A=M().
上的余乘是一个代数同态△: 一M(A0 ),使得A(a)(1oh),(n01)A(b)∈A~A
并满足如下余结合性t
(a 101)(△Qid)(△(6)(1Qc)):(idOA)(aQ1)△(6))(1O10c).
设A是带有非退化积的代数,△是 上的余乘.定义线性映射 ,T2:A~A—AQA,
使得对任意的a,b∈A,
(a b)=A(a)(1Ob),T2(a b)=(a01)A(b).
如果 , 是双射,则称 为乘子Hopf代数 (multiplierHopfalgebra),记为 (,△).如
果 盯△也是 的余乘,并使得 (A,△)是乘子Hopf代数,则称 是正则的(regular).
设 和B是两个带有非退化积的代数, :A—M (B)是代数同态,如果B作为
线性空间既可由咖(n)b张成又可由6西(n)张成,则称映射 是非退化的.
本文2011年 12月21日收到.
河南科技大学数学与统计学院,河南 洛阳471023;浙江大学数学系,杭州310027.
E—mail:lihuizhaos@126.com
。河南理工大学数学与信息科学学院,河南 焦作454000.E—mail:wwcamong@yahoo.com.ca
本文受到国家自然科学基金 (No和河南科技大学博士科研启动基金 (No的资助
数 学 年 刊 34卷A辑
本文中A表示数域k上的正则乘子Hopf代数,其上的对极是可逆的,而且是从A到A
的映射[9].乘子Hopf代数中的Sweedler记号已经被多次应用,如文 [7—10].所以在本文中
如果余乘是被 “良覆盖”的7【】j我们也将应用此记号并把余乘写为△(0)(16):Eal~a2b.
2 L.R Smash余积
在本节中,我们引入乘子Hopf代数上 L—RSmash积的对偶形式L—RSmash余积,
构造了L—RSmash余积上的乘子Hopf代数结构.
首先回忆乘子 Hopf代数中余作用的定义.
定义 2.1[11】设 A是乘子 Hopf代数,R是带有非退化积的代数.若一个代数同态
F:R—M
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