Hom-ω-smash积Hopf代数的拟三角结构.pdf

数 学 年 刊 2013，34A(6)：689—708 Hom一-smash积 Hopf代 数 的拟三 角结构 水 郑 乃 峰 提要 设 (A，OZ)和 (H，)是 Hom-)~[代数， ：H0A— 0日是线性映射，定义了Hom-w—smash 积 (A 日，7)，并给出了(A H，7)是Hom—bialgebra的充要条件．最后，研究了 (A H，) 上的拟三角结构，并给出了它是拟三角Hom—Hopf代数的充要条件． 关键词 Hom—Hopf代数，拟三角Hom—Hopf代数，Horn——smash积 MR (2000)主题分类 16w30 中图法分类 O153 文献标志码 A 文章编号 1000—8314(2013)06—0689—20 1 引 言 Horn-代数的概念是由Makhlouf和 Silvestrov于 2006年在研究拟李代数时引入的 (见 [1】)．Hom一代数的引入实际上是推广了结合代数的概念，把结合代数中的结合性法则 作了形变，将其变成了线性变换 结合性条件，即 (0)(6c)=(ab)a(c)．随着Horn一代数 研究的深入，一些学者在文 [2—4】中又陆续引入了Hom-余结合余代数，Horn一双代数和 Horn。Hopf代数等，并给出了一些重要的性质．在文 [5-8]中关于Hopf代数上的拟三角结 构被广泛研究，尤其是DonaldYau在文 9【]中定义了拟三角Hom-双代数，推广了通常拟 三角双代数，并证明拟三角Horn-双代数 (H，OZ，R)满足量子 Hom-Yang—Baxter恒等式． 扭曲(或尼)smash积被 Caenepeel和他的合作者在文 [10]中系统研究，文 [6]构造 了R-smash积上的拟三角结构．综上所述，在 R—smash积的Hom-类型推广上构造拟三 角结构成为 自然问题．因此，我们首先定义相应的Horn一类型的smash积，研究它的拟三 角结构，并给出它是拟三角 Hom-Hopf代数的充要条件． 本文的结构如下：第 1节介绍一些基本概念；第2节定义Hom——smash积 ( ，) 并给出它成为Hom-~代数的充要条件 (定理2．2)；第3节给出Hom-w—smash积 Hopf代数 (A H，AHH，7)上的拟三角结构 R的公式，并找到使它成为拟三角 Horn—Hopf代数 的充要条件 (定理3．2)；最后一节，研究一些特殊的拟三角结构． 本文的所有工作都是在域 k上进行的．所讨论的模、张量积和线性映射均指域 k上 的．文中我们将使用 Sweedler关于余代数余乘法的记号 A(h)=Ehl h2．S(或 SH)表 示 Hom—Hopf代数 日的对极映射． 2 Hom--smash积 Hopf代数 在这一节，我们首先介绍一些关于 Hom-Hopf代数的概念和结论，至于这些概念的 详细阐述读者可参阅文 1【—4，9]．然后，我们定义Hom——smash积并得到它成为Horn一双 代数的充要条件．最后，我们给出一些关于Hom——smash积的例子． 本文 2012年 10月 26日收到，2013年 1月6 日收到修改稿． 宁波大学理学院，浙江 宁波315211．E—mail：zhengnaifeng@nbu．edu．cn 本文受到宁波市自然科学基金 (No．2011A610172)的资助． 690 数 学 年 刊 34卷 A辑 定义 2．11【,3]设 A是线性空间，并且有线性映射 z／：A0A— A， ：A— 和 77：一A，如果四元组 (A，，r／，a)对任意0，b，c∈A满足 (06)= (0)(6)， (叩(1)) 77(1)， (2．1) (0)(6c)=(n6)(c)，0叩(1)=Q(0)=叩(1)o， (2．2) 则称四元组 (A，，叼，)为一个Horn-代数．同时，称叩(1)为A的弱单位元，记 叩(1)=1a． 定义 2．2【】设 是线性空间，并且有线性映射 △ ：C— C C，Q：C— 和 E： 一七，如果四元组 (，△，g，)对任意c∈ 满足