第一二节 概念和性质.pptVIP

第六章 第一节 一、定积分问题举例 解决步骤 : 3) 求和. 2. 变速直线运动的路程 3) 求和. 二、定积分定义 [注] 利用 例2. 用定积分表示下列极限: 第二节 定积分的性质 小结 作业 ： 例3. 试证: 内容小结 思考与练习 思考: 解 例1 于是 解 令 于是 性质6（估值定理） m M 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质6（估值定理） 解 解 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 使 即 积分中值公式的几何解释： １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： “分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” 3．定积分的性质 （注意估值性质、积分中值定理的应用） 4．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小． （3）计算平均值． P10 2 (1)(3) ; 5 (4) (5) 复习不定积分公式 思考题1 将和式极限： 表示成定积分. 思考题1解答 原式 思考题2 思考题2解答 例 解 由积分中值定理知有 使 练 习 题 1 练习题1答案 练 习 题 2 练习题2答案 * * * 积分学 不定积分 定积分 定积分 一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的几何意义 定积分的概念 第六章 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 矩形面积 梯形面积 以x轴为底边的曲边梯形 a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） f (?i) 1 分割 2 近似 (以直代曲) 3 求和 y x o y=f (x) a b . . 分法越细，越接近精确值 1. 曲边梯形的面积 . 4 取极限 y x o y=f (x) 令分法无限变细 . a b . . . 分法越细，越接近精确值 1 分割 2 近似 (以直代曲) 3 求和 1. 曲边梯形的面积 . f (?i) 4 取极限 y x o y=f (x) 令分法无限变细 . . . . 分法越细，越接近精确值 1 分割 2 近似 (以直代曲) 3 求和 1. 曲边梯形的面积 . f (?i) S = . S . a b 分割 在区间 [a , b] 中插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 近似. 在第i 个窄曲边梯形上 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替 相应窄曲边梯形面积 得 等分区间[a,b]， 任取 4) 取极限. 曲边梯形面积： 设某物体作直线运动, 且 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 分割. 将它等分成 在每个小段上物体经 2) 近似. 得 已知速度 n 个小段 过的路程为 4) 取极限 . 上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 经济学中产量的计算等问题也都可以类似解决 任取 在区间 上的定积分,（简称积分） 即 此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 记作 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即 说明： 1. 2. 有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积； 3. 可积的充分条件： 定理6.1 定理6.2 且只有有限个第一类 (证明略) 间断点 曲边梯形面积： 4. 变速直线运动的路程： 根据定积分定义前面两个实际问题的结果可表述如下： 规定: 例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取 得 两端分别相加, 得 即 解: 三、定积分的几何意义 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 几何意义： 若要求阴影部分的面积, 则为 例3. 利用定积分的几何意义,说明下列等式: 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且如非特殊说明，不考虑积分上下限的大小． 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 证 性质2 性质1,2合称线性性. 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3 证 性质4 性质5 由极限的保号性, 性质5的推论： 证 （1） 证 说明： 可积性是显然的. 性质5的推论： （2） * * *