也谈符号^n√a究竟表示什么？.pdf

2001年 第 1O期 数学通报 也谈符号 究竟表示什么? 臣：因 (甘肃教育学院数学系73OOOO) 众所周知，在实数系，符号 有明确的意义： 的概念》复数一章第 107页上说：复数 的n次方 如果 O， 表示一个正数，它的n次方等于 ， 根一般来说有 个不同的值，所以如果用符号 即 0，且 ( ) ： ．这时， 表示n的n次算 表示 的n次方根，应该把它看作表示 的n个n 次方根中的任一个值，例如在复数范围内符号√1 术根．如果 a=O，0Ⅱ=O，如果o0．当n是奇数 应该认为表示 1的二个平方根的任一个值，就是 时， ：一 r_ 这里的 厂=_I是正数 一 的 次 +l和 一1，为了不使方根的符号与过去在实数范 算术根，当n是偶数时， 没有意义 围内的算术根的符号相混淆，当同时研究复数根 在实数系扩张到复数系以后， 的意义就显 和算术根时，对于后者最好用专门的符号来表示， 得非常模糊，混乱．cH．诺娃塞落夫著 《代数与 例如我们可 用符号 来表示正数n的n次算术 初等函数》第五章 “复数 “第55节”中说，符号 表 根．”看来，余先生也不主张 表示多值．但是，根 示 的n个互不相同的n次方根： ：m ，ms， 据余先生的主张，在复数范围内符号 表示：的n 0e，……，∞0￡～，其中 =p(c0s +isin~)，∞0 个 次方根中的任一个值，因而失去了确定性，在 = (c。s詈+isin詈)，e=c。s警+isin，这里，对 进行进一步计算时，将会使人无所适从，并且 带来更多的混乱． 表示正实数p的n次算术根，它的值是唯一的， 王明夏先生在 1963年数学通报第三期上撰 确定的． 写了符“号 究竟表示什么?”的文章．对这一问 十三院校协编组编 的 《中学数 学教材教 题进行了详尽的讨论．王明夏先生建议作如下规 法》(分论)第25页上有 “…但是在复数集中， 当 定 ： ≠0时却表示n个值，例如在实数集牛√ ：l它 的意义：1)如果 n是实数，n：2，就是 表示算术根；但是在复数集里，把 1看成是复数 l 只表一值，当a≥0时，√n≥0是实数，当n0 +0i，那么就有√l： ／1+0 ：±1．” 时，√ = 一ai是纯虚数． 这两家都主张复数系里， 表示 的全部n次 2)如果 。是实数 (用代数式表示)，n2是 方根 (共有 n个)，因而是多值的．这样对。；进一步 自然数，当n≥O， 表示算术根，只表一值，即， 参与其它计算带来麻烦，如 表示n个值还是 ( ) ：Ⅱ， ≥0． nm 个值?同时这种主张会造成明显的混乱．当 当 0。是奇数时， ：一 __1只表一 ：n是正实数时 值是实数 ； ： ,Y—a(c—osO+isin0)： (cos盥 +isin 当n0，n是偶数时． 表n次方等于n的 一 切值，即表 n个值，都是虚数．