共形空间Q_s~n中的正则Blaschke拟全脐子流形.pdf

数 学 年 刊 2015，36A(1)：59—68 DOI：10．16205／j．cnki．cama．2015．0007 共 形空 间 中的正 则 Blaschke拟 全脐 子流 形冰 聂 昌雄 提要 [NieCX，WuCX，RegularsubmanifoldsintheconformalspaceQ ，ChinAnnMath， 2012，33B(5)：695—714】中研究了共形空间Q 中的正则子流形，并引入了共形空间Q 中的子流形 理论．本文作者将分类共形空间 Q 中的Blaschke拟全脐子流形，证明伪 Riemann空间形式中具有 常数量曲率和平行的平均曲率向量场的正则子流形是共形空间中的 Blaschke拟全脐子流形；反之， 共形空间中的 Blaschke拟全脐子流形共形等价于伪 Riemann空间形式中具有常数量 曲率和平行的 平均曲率向量场的正则子流形．这一结论可看作是共形空间Q 中共形迷向子流形分类定理的推广． 关键词 正则子流形，共形不变量，Blaschke拟全脐子流形 MR (2000)主题分类 53A3O，53B25 中图法分类 O186．13 文献标志码 A 文章编号 1000—8314(2015)01—0059—10 1 引 言 Alias等人_1J得到了伪 Riemann空间形式中具有平行平均曲率向量场的类空子流形 的一些刚性结果．对伪 Riemann空间形式中具有平行平均 曲率向量场的完备类空子流 形，Brasil等人 []证明了一些不等式，并推出对第二基本形式长度的模长平方的Laplace 算子的新公式，公式中出现平均曲率．利用这个新公式，在其他有关第二基本形式长度的 模长平方的条件下，决定了伪Riemann空间形式中具有平行平均曲率向量场的类空子流 形的几何． Yano与 Ishihara3[]更早的一篇文献也用到类似的公式研究浸入到 Riemann 常曲率空间的子流形，其法丛可局部对角化并且平均曲率向量场在法丛中是平行的． 这些文献都试图从等度几何的观点来刻画伪Riemann空间形式中具有平行平均曲率 向量场的完备类空子流形．本文 目的是给出Riemann(或伪Riemann)空间形式中具有平 行平均曲率向量场的一类特殊子流形的共形特征．我们发现Riemann(或伪Riemann)空 间形式中正则子流形的Blaschke张量，作为一个共形不变量，扮演了重要角色． 我们首先回顾共形空间Q 中的子流形理论的框架． 令 表示伪欧氏空间，它是 由实向量空间 Ⅳ配上非退化 内积 (，)得到的： (∈，叼)=一∑ iYi+∑ xiYi， i=1 i=s+1 其中 ∈=(Xl，… ， )，叩=(Yl，···，Y)∈ Ⅳ． 令 C卅 ：={∈∈搿 l(∈，∈)=0，∈≠0)， (1．2) Q ：={f∈]∈IRpn“J(，∈)=0)=Cn+l／( {0))， (1．3) 称C+是 搿 中的光锥，Q 是 P+ 中的共形空间(或射影光锥)． 本文 2014年 1月 3日收到，2014年 5月 14日收到修改稿． 湖北大学数学与统计学学院，武汉 430062．E．mail：chxnie@163．corn 本文受到国家留学基金 (No．2的资助． 60 数 学 年 刊 36卷A辑 共形空间Q 的标准度量 h可以由伪Riemann淹没 7r：Cn+__+Q ， ∈H [] 得到．能够验证 (Qn，h)是一个伪Riemann流形． 定义半径为 r的伪Riemann球空间Sy(r)和伪Riemann双曲空间皿 (r)形如 s(r)={∈Ⅱ+l(U，钆)：r2)，ⅡⅡ(r)={∈R+1lf(，乱)=一p2)． 当r=1时，省略半径 r．当8=1且r=1