共形空间Q_1~(n+1)中类空超曲面的拼挤问题.pdf

数 学 年 刊 2015，36A(I)：31—36 DOI：10．16205／j．cnki．cama．2015．0004 共 形 空 间 +1中类 空超 曲面 的拼挤 问题木 聂 昌雄 提要 通过对第二共形基本形式的模长平方作拼挤，给出Clifford超柱面的一个共形特征． 关键词 正则超曲面，共形不变量， Blaschke全脐超曲面，极大超曲面，Clifford超柱面 MR (2000)主题分类 53A30，53B25 中图法分类 O186．13 文献标志码 A 文章编号 1000—8314(2015)01—0031—06 1 引 言 在文 1【]中已经构建了共形空间Q+ 中子流形共形几何的基本框架．由于第二共形 基本形式B的模长平方是常数 ，所以可以直接考虑 lBl。的Laplacian的拼挤问题而 不必考虑 l璐l的Laplaeian的积分． 本文重点关注共形空间Q “中类空超 曲面．本文的主要定理陈述如下． 定理 1．1设 ：M —Q?，礼≥3是共Ng]u-JQ+ 中的一个正则类空超曲面．如 果 是Blaschke全脐的，则共形数量 曲率 P≤一 ，等号成立当且仅当 是反 de Sitter空间 ⅡⅡ+ 中的Clifford超柱面． 定理 1．2 设 ：M 一 “，扎≥3是共形空间Qn+ 中的一个正则类空超曲面．如 果 是Blaschke全脐的，则共形数量 曲率P≤ ，等号成立当且仅当 是球空间 + 中的Clifford超柱面． 本文组织如下．第 2节回顾共形空间Q “中的超 曲面理论，给出伪 Riemann空间 形式中超曲面的共形不变量与等度不变量之间的关系．第 3节给出共形空间Q+ 中的 Blaschke全脐超曲面的一个拼挤定理．第 4节给出共形空间Qn+ 中的一个类似的拼挤 定理． 读者在文 [2—3]等中能找到更多关于球空间中的拼挤问题的文献． 2 超 曲面 的共形 几 何 首先，简要回顾共形空间 + 中超曲面理论的框架．读者在文 [1—4]等中可找到更 多细节． 本文 2014年 2月21日收到，2014年 7月 5 日收到修改稿． 湖北大学数学与统计学学院，武汉 430062．E—mail：chxnieQ163．com 本文受到国家留学基金 (No．留金法 2的资助． 32 鍪 兰 年 刊 36卷A辑 设 表示伪欧氏空间，即由实向量空间 Ⅳ装备非退化内积 (．，)得到的空间 其 ， 内积由 (∈，叩)=一∑ Yi+∑xiy 给出，其中 =(1，… )，叩=(1，… ，Y)∈ Ⅳ．令 、 C+ ：={∈∈Ⅱ；+。l(∈，)=0，≠0)， Q+ ：={ ∈ P+f ，)=0’=Cn+2／(＼(0}) ， 称 “为共形空间． 我们 为，如果只谈及共形几何，Q?+是 ?¨， “，研?+ 的共同的紧致化， 而 ． ?州， ，皿 “也就是Q+ 的子集． 设 ：M 一@}+ 是共形空间Q蚪 中的一个正则类空超曲面． 存在典则提升y ： M —C+。c ≥ ，使得共形度量 g=(dY,dY)．设 {e1，… ，e)是流形M上的一组基