复lp(Cn)空间中单位球的体积及其渐近性质.pdf

2014年 3月 应用教学争’干笄．数学学报 第 28卷第 1期 M ar．2014 CommunicationonAppliedM athematicsandComputation V0l|28 No．1 DOI10．3969／j．issn．1006—6330．2014．01．007 复 p(cn)空间中单位球的体积及其渐近性质 竺芳远， 何斌吾 (上海大学理学院，上海200444) 摘要 令Bp(c”)={z∈C lll。 ≤1)为n维复 空间中的单位球， 1≤P≤+。。，主 要得到其体积公式，并讨论当佗一 o。，P一 。。时其体积的某些渐近性质． 关键词 单位球； 空间；体积；渐近性质 2010数学分类号 52A20 中图分类号 O186．5 文献标志码 A 文章编号 1006—6330(2014)01—0047-06 Volumesofunitballsincomplex p(C仡)一space and itsasymptoticproperties ZHU Fang—yuan， HEBin-wu (CollegeofSciences，ShanghaiUniversity,Shanghai200444，China) Abstract LetBp(c)={ ∈C IIlllp≤1}betheunitballofthen—dimension complex 一space，1≤P≤+。o．Thevolumeformulaof (c)areobtained，and theasymptoticpropertiesofvolumesasn_}oo．P ．^+∞ arefoundout． Keywords unitball； 一space；volume；asymptoticproperty 2010MathematicsSubjectClassification 52A20 ChineseLibrary Classification O186．5 0 引 言 设 ( )和 (Cn)分别为实n维 空间和复 n维 空间，其 范数分别定义为 xll=( )， …，… = ( ¨均墨)， ，… ¨ ，… c 收稿 日期 2012—05—04； 修订 日期 2012—10—08 基金项目 国家自然科学基金资助项目 通信作者 何斌吾，研究方向为凸几何和几何分析．E-mail：hebinwuQshu．edu．cn 第 28卷 然后，分别记 ( )= x∈ llIxll≤1)和 (c”)={∈∈C … ≤1)为 ( ) 和 (C)中的单位球． 长久以来，对 ( )中的单位球的研究，很多数学工作者们都做了大量的工作： Badger[】用一阶线性初值问题来计算体积； Alzer[。]介绍了单位球体积的某些不等式； Lasserre[。】给出了单位球体积的快速证明；Meyer和Pajor[]研究了 空间中单位球的剖 面问题；陈巧云和何斌吾5[]讨论了超球帽的面积公式和应用；薛莲等[6]给出了单位球的迷 向常数；Huang和He[]给出了单位球的体积公式．近年来，由于研究的深入，复空间c 开 始受到广泛的关注．对应于 ， 中的截面问题和投影问题正成为近期研究的热点之 一 ： HijabIs]计算了在 c 中单位球的勒贝格测度；Koldobsky和 Zymonopoulou9[]对复 (c“)空间中单位球体积的计算给出了定义． 对于 (c)的体积 (勒贝格测度)，Hijab的文章仅给出了P=2，P=+。。时的体积， 即vB。(cn)：箐，。。(cn)=7r．本文用不同的方法得到了当1≤P≤+。。时，vB(cn)的 一 般公式，