第二讲：向量空间.pdf

數學傳播 31 卷 3 期, pp. 26-49 線性代數五講一一 第二講 向量空間 龔 昇 張德健 2.1. 基底與矩陣表示 在第一講的開始, 我們就明確地指出: 線性代數是研究線性空間, 即向量空間、 模和其上 的線性變換以及與之相關的問題的數學學科。 這一講中, 將仔細討論向量空間。 關於向量空間有 以下這些常規、 常用的定義。 A. S 是體 F 上的向量空間 V 的部分集合, 如果將 V 的加法與 F 對 V 的純量乘積限制 在 S 上, S 也成為一個向量空間, 則稱 S 為 V 的子空間。 我們用一個簡潔的方法來看這個定 義: S 為 V 的子空間若且唯若 α u + β v ∈ S, ∀ u, v ∈ S, ∀ α, β ∈ F. (2.1.1) 首先, 若 S 為一向量空間, 則來 自 V 上的向量加法與純量乘積必須滿足封閉性而成為在 S 上 的兩個二元運算, 故 (2.1.1)成立; 另一方面, 既然這兩個運算都是來 自原來的向量空間 V , 所 以, 加法的交換律、 結合律、 純量乘積與加法之間的分配律當然成立, 我們只要驗證在 S 上存 在加法單位元素與反元素。 在 (2.1.1)中取 α = β = 0, 則 0 ∈ S ; 若令 α = −1 及 β = 0, 則 −u ∈ S , 故 S 為一向量空間。 B. 若 V , . . . V 是體 F 上的 n 個向量空間, 令 1 n V = (v , . . . v ) : v ∈ V , j = 1, . . . , n, 1 n j j 且在其上定義加法 (v , . . . v ) + (u , . . . , u ) = (v + u , . . . , v + u ), 1 n 1 n 1 1 n n F 對 V 的純量乘積為 α (v , . . . , v ) = (α v , . . . , α v ), 1 n 1 n 26 線性代數五講 27 這裡 α ∈ F, 則 V 成為一個向量空間, 稱為向量空間 V , . . . , V 的直和 (direct sum), 記作 1 n V = V1 ⊕ ⊕ Vn . 若 S 是向量空間 V 的一個子空間, 且有子空間 S , 使得 V = S ⊕ S , 則稱 S 為 S 的補 1 2 1 2 2 1 c 空間 (complement)。 記作 S 。 可證 V 的任一子空間一定有補空間。 1 C. 向量空間 V 中的一個 (有限) 非空部分集合 S 稱為線性獨立 (linearly independent), 如果由 α v + + α v = 0