2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第3章第20讲数列求和.ppt

* 9 4.1+2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1= _________ (n-1)×2n+1 5.若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3，…)，则此数列的通项公式为__________；数列{nan}中数值最小的项是第______项． an=2n-11 3 解析：当n=1时，a1=S1=-9； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-10n-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11， a1=-9也符合上式，an=2n-11(n∈N*)． 由nan=2n2-11n=2(n- )2-知， 当n=3时nan为数值最小的项． 用公式法求和 【例1】 已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2n·p＋n·q(n∈N*，p，q是常数)，且x1，x4，x5成等差数列． (1)求p，q的值； (2)求数列{xn}的前n项和Sn. 【解析】(1)因为x1＝3，xn＝2n·p＋n·q， 所以x4＝24·p＋4q＝16p＋4q，x5＝25·p＋5q＝32p＋5q. 因为x1，x4，x5成等差数列，所以2x4＝x1＋x5， 即32p＋8q＝32p＋5q＋3，所以q＝1. 又x1＝2p＋q＝3，所以p＝1. 本题考查等差、等比数列的基本知识，主要考查运算能力和推理能力．可以直接代入等差、等比数列前n项和公式求和的前提是由已知条件求得首项和公差或公比，因此，要求不仅要牢记公式，还要计算准确无误．第(2)问如果先写出x1＝3，x2＝6，x3＝11，x4＝20，再来找规律较难，用拆项分组求和则要好得多． 【变式练习1】 在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3·a4＝32，并且an＋1an(n∈N*)． (1)求a2、a5以及数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝lga1＋lga2＋lga3＋…＋lgan，求当Tn最大时，n的值． 裂项相消法求和 【解析】(1)证明：当n＝1时，a1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1. 显然a1＝1满足an＝2n－1，所以an＋1－an＝2， 所以数列{an}为等差数列． 本题主要考查 (1)Sn与an的递推关系； (2)裂项求和法． 错位相减法求和 【例3】 求S＝1＋2x＋3x2＋4x3＋…＋(n＋1)·xn的值． 通过观察，本题有如下特征：系数成等差数列、字母成等比数列，即它是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的数列，具备用错位相减法的条件；同时本题也有陷阱：并没有确定x是否为0或1，故容易贸然地用错位相减法求解，而需先分类讨论．在求解过程中还要注意，在等比数列求和时，项数也容易搞错． 【变式练习3】 设{an}为等比数列，Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，已知T1＝1，T2＝4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{Tn}的通项公式． 分组分解法求和 分组分解法是通过对数列通项结构的分析研究，将数列分解为若干个能够求和的新数列的和或差，从而求得原数列和的一种求和方法．如本题将数列分成奇数项的和与偶数项的和，分别应用等差数列和等比数列的求和公式求解． 【变式练习4】 求值：Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n＋1·n.