数据资料与拟合模型剖析.ppt

§3.2 数据资料与拟合模型 2. 资料与模型 10. 数据资料可以直接应用于数学模型的组建。 20. 对于情况较复杂的实际问题（因素不易化简，作用机理不详）可直接使用数据组建模型寻找简单的因果变量之间的数量关系， 从而对未知的情形作预报。 这样组建的模型为拟合模型。 30. 拟合模型的组建主要是处理好观测数据的误差，使用数学表达式从数量上近似因果变量之间的关系。 3. 拟合模型 10. 拟合模型的组建是通过对有关变量的观测数据的观察、分析和选择恰当的数学表达方式得到的。 20. 拟合模型组建的实质是数据拟合的精度和数学表达式简化程度间的一个折中。折中方案的选择将取决于实际问题的需要。 30. 经验模型和插值模型 经验模型：问题主要是探讨变量间的内在规律，容许出现一定的误差。 模型将侧重于选择规律的简单的数学表达 在简单的数学表达式中选择拟合效果好的 插值模型：模型以拟合效果为主。 要求精确地拟合观测数据，即在观测点之间插入适当的数值。 40. 其他利用数据组建的模型：判别模型、主成分模型、分类模型、因子模型、趋势面模型、时间序列模型等。 二. 经验模型与最小二乘法 1. 经验模型及其组建 在简单模型中选择拟合效果好者。 例3.5 人口预测 1949年—1994年我国人口数据资料如下： 年 份 xi 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 人口数 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 建模分析我国人口增长的规律, 预报1999年我国人口数。 1. 在坐标系上作观测数据的散点图。 2. 根据散点分布的几何特征提出模型 3. 利用数据估计模型的参数 4. 计算拟合效果 例3.1 假设：人口随时间线性地增加 模型：y = a + b x 参数估计 观测值的模型： yi = a + b xi + εi ，i = 1,…,n 拟合的精度: Q = ? ?i 2 = ? (yi - a – b xi)2, 误差平方和。 最小二乘法： 求参数 a 和 b，使得误差平方和最小。 参数估计 可以算出：a = – 1.93， b = 0.146 模型：y = – 1.93 + 0.146 x 拟合效果 结论 1. Q1 = 0.2915 0.7437 = Q2. 线性模型更适合中国人口的增长。 2. 预报：1999年12.55亿，13.43亿 3. 人口白皮书： 2005年13.3亿， 2010年14亿 模型 I 2005年13.43亿，2010年14.16亿 模型II 14.94亿， 16.33亿 讨论 xi 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 yi 5.24 5.97 6.70 7.43 8.16 8.90 9.62 10.36 11.09 11.82 0.16 0.03 0.00 -0.43 -0.06 0.20 0.18 -0.06 0.01 -0.02 yi 5.55 6.06 6.62 7.23 7.90 8.64 9.44 10.31 11.26 12.31 -0.15 –0.06 0.08 –0.23 0.20 0.46 0.36 –0.01 –0.13 –0.51 2. 线性最小二乘法 模型：y = bx， 模型：y = a + bx， 模型：y = b1x1+b2x2， 模型：y = a+b1x1+b2x2， 3. 可化简的非线性最小二乘法 10. y=a+b1f1(x)+b2 f2(x)+…+bn fn(x) 令 ui= fi(x), 则有 y=a+b1u1+…+bnun. 20. y=a ebx . 令 z=ln y, 则有 z = ln a + b x = a* + b x . 30. y = a xb . 令 z = ln y, u =