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第二章-3 开腔模式和衍射理论分析方法 §2.3 开腔模式和衍射理论分析方法 Q：在一个没有侧面边界的区域中，是否存在着电磁场的本征态，即不随时间变化的稳态场分布？如果存在，应该如何求出这些场分布？ 更关心镜面上的场。激光输出直接与镜面上的场相联系。镜面上稳态场分布的形成可以看成是光在两个镜面间往返传播的结果。因此，两个镜面上的场必然是互相关联的：一个镜面上的场可以视为另一个镜面上的场所产生，反之亦然。 一、激光的横模 反射镜的有限大小会引起衍射损耗，而且在决定开腔中激光振荡能量的空间分布方面，衍射将起主要作用 非选择性损耗将使横截面内各点的场按同样的比例衰减，对场的空间分布不会发生重要影响 衍射主要发生在镜的边缘上，将对场的空间分布发生重要影响；而且，只要镜的横向尺寸是有限的，这种影响将永远存在。 为突出特征、简化分析，提出理想的开腔模型：两块反射镜片沉浸在均匀的、无限的、各向同性的介质中。没有侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径由镜的边缘所构成。 考虑在开腔中往返传播的一列波 用波在孔阑传输线中的行进来模拟它在平面开腔中的往复反射（暂不考虑干涉效应）。这种孔阑传输线由一系列同轴的孔径构成，这些孔径开在平行放置着的无限大完全吸收屏上，相邻两个孔径的距离等于腔长，孔径大小等于镜的大小。 光从一个孔径传播到另外一个孔径，就等效于光在开腔中从一个反射镜面传播到另一个镜面。在通过每一个孔阑时光将发生衍射，射到孔的范围以外的光将被屏所吸收（对应于损耗）。 每经过一个孔，波的振幅和相位分布就经历一次改变；在经过若干个孔以后，其振幅和相位不可避免地逐次发生畸变，逐渐被改变成这样的形状，以致于它们受到衍射的影响越来越小，或者说，它们逐渐趋于一定的稳定分布状态。当通过的孔阑数足够多时，镜面上场的相对振幅和相位分布将不再发生变化，或者说不再受衍射的影响，在腔内往返一次能够“再现”出发时的场分布。 把开腔镜面上经一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的自再现模或横模。自再现模一次往返所经受的能量损耗称为模的往返损耗，所发生的相移称为往返相移，该相移等于2?的整数倍。 并非任何形态的电磁场都能在开腔中长期存在，只有那些不受衍射影响的场分布才能最终稳定下来（特点1：非任意性） 由不同的初始入射波所得到的最终稳态场分布可能是各不相同的，这预示了开腔模式的多样性。实际的物理过程是，开腔中的任何振荡都是从某种偶然的自发辐射开始的，而自发辐射服从统计规律，因而可以提供各种不同的初始分布。（特点2：多样性） 理解激光的空间相干性：即使入射在第一个孔面上的光是空间非相干的，但由于衍射效应，第二个孔面上任一点的波应该看作是第一个孔面上所有各点发出的子波的叠加，这样，第二个孔面上各点波的相位就发生了一定的关联。在经过了足够多次衍射之后，光束横截面上各点的相位关联越来越紧密，因而空间相干性随之越来越增强。在开腔中，从非相干的自发辐射发展成空间相干性极好的激光，正是由于衍射的作用。 在无源开腔中，自再现模的形成过程和场的空间相干性的增强过程，都不可避免地伴随着初始入射波能量的衰减。 在激活腔中，只要某一自再现模能满足阈值条件，则该模在腔内就可以形成自激振荡。这时，自再现模的形成过程将伴随着光的受激放大，其结果是：光谱不断变窄，空间相干性不断增强，同时，光强也不断增大，最终形成高强度的激光输出。 取激光器的轴向作为z轴，以谐振腔的中心点为原点，并在与主轴垂直的平面上取x、y轴，用TEMmn符号来表示各种横向模式。 m、n分别代表在横截面内的x、y轴方向出现的节线数，或，光强为零的那些零点的序数。 纵模和横模各自从一个侧面反映了谐振腔内能自再现的光场分布。腔内光波往返传播时，干涉和衍射效应同时存在。 一个完整的模式不但有确定的横向分布，而且沿纵向形成驻波。用三个正整数m、n、q来标志， TEMmnq 。一种模式的振荡频率不仅与纵模序数q有关，而且与横模序数m、n也有关。 研究表明：一方面，人们从理论上论证了开腔模的存在，并且用数值和解析的方法求出了各种开腔模式；另外，又从实验上观测到了激光的各种稳定的强度花样，而且理论分析与实验观测的结果符合得很好。 二、衍射理论的分析方法 求解开腔模式，归结为求解菲涅耳—基尔霍夫衍射积分；公式表明：如果知道了光波场在其所达到的任意空间曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在空间其它任意位置处的振幅和相位分布。 菲涅耳—基尔霍夫积分 已知某一镜面上的场分布 ，在衍射作用下经腔内一次渡越而在另一个镜面上生成的场 以v(x,y)表示开腔中这一不受衍射影响的稳态场分布函数（即uj 、uj+1、……），有 2.本征值复常数?的意义 在腔内存在激活物质的情况下，为了使自再现模在往返传播过程中能形成稳定振荡，还必须满足多光束干