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§3.4(一) 本讲栏目开关 填一填 研一研 练一练 本讲栏目开关 填一填 研一研 练一练 填一填·知识要点、记下疑难点 ≥ a=b 正 ≥ = 基本 本讲栏目开关 填一填 研一研 练一练 填一填·知识要点、记下疑难点 2 -2 2 -2 ≥ 本讲栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研·问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研·问题探究、课堂更高效 重合 本讲栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研·问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研·问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研·问题探究、课堂更高效 D 本讲栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研·问题探究、课堂更高效 B 本讲栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研·问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研·问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研·问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 填一填 研一研 练一练 2 研一研·问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 填一填 研一研 练一练 §3.4(一) 探究 下面是基本不等式≤的一种几何解释,请你补充完整.
如图所示,AB为⊙O的直径,AC=a,CB=b,过点C作CD⊥AB交⊙O上半圆于点D,连接AD,BD.由射影定理可知,CD=,而OD=,因为ODCD,所以 ,当且仅当C与O,即时等号成立.
≥
≥
a=b
1.如果a,b∈R,那么a2+b22ab(当且仅当时取“=”).
2.若a,b都为数,那么(当且仅当ab时,等号成立),称上述不等式为不等式,其中称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.
探究点一 基本不等式的证明
问题1 利用作差法证明:a∈R,b∈R,a2+b2≥2ab.
3.基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤ (a,b∈R);
(2)当x0时,x+≥;当x0时,x+≤.
(3)当ab0时,+≥;当ab0时,+≤.
(4)a2+b2+c2ab+bc+ca,(a,b,c∈R).
4.当a0,b0且a≠b时,,,,按从小到大的顺序排列为.
1.若0ab,则下列不等式一定成立的是( )
A.ab B.ba
C.ba D.ba
2.设a、b是实数,且a+b=3,则2a+2b的最小值是( )
A.6 B.4 C.2 D.8
【学习目标】
1.理解基本不等式的内容及证明.
2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.
3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.
【学法指导】
1.应用基本不等式解决有关问题必须紧扣它的适用条件,公式a2+b2≥2ab只要求a、b是实数,而公式≤强调a、b必须是非负数.
2.应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形,构造出符合基本不等式的条件结构.
探究点二 基本不等式的拓展
问题 当a0,b0时,≤≤≤ 这是一条重要的基本不等式链,请你给出证明.
∴ ≥,即≤.
【典型例题】
例1 已知正数0a1,0b1,且a≠b,则a+b,2,2ab,a2+b2,其中最大的一个是( )
A.a2+b2 B.2 C.2ab D.a+b
跟踪训练1 设0ab,且a+b=1,在下列四个数中最大的是( )
A. B.b C.2ab D.a2+b2
例2 设a,b,c都是正数,求证:++≥6.跟踪训练2 已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:++≥9.
例3 abc,n∈M且+≥,求n的最大值.
小结 一般地,若函数y=f(x),x∈D既存在最大值,也存在最小值,则
af(x),x∈D恒成立af(x)max;
af(x),x∈D恒成立af(x)min.
跟踪训练3 已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
4.a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
1.设a,b是两个正实数,用min(a,b)表示a,b中较小的数,用max(a,b)表示a,b中较大的数,则有min(a,b)≤≤≤≤ ≤max(a,b).当且仅当a=b时,取到等号.
2.两个不等式a2+b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式,对于“当且仅当…时,取‘=’”这句话的含义要有正确的理解.
一方面:当a=b时,=;另一方面:当=时,也有a=b.
证明 ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,
∴a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,取“=”.
问题2 当a0,b0时,a=()2,b=()2.
据此证明:a0,b0时,a+b≥2.
证明 ∵a+b-2=()2+()2-2·
=(-)2≥0.
∴a+b≥2.
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