2多项式插值与最小二乘拟合.ppt

线性插值 （一）分段线性插值 （二）三次样条插值 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. Phys. North China Elec. P.U. 在科学与工程等实际问题中，其数据模型（由实验或测量所得到的一批离散数据）容易得到。 那么，能否通过处理这些数据来建立连续模型呢？从而可以对模型有更全面的认识！下面我们以一维的问题来说明， 假设已经得到 的离散数据模型(xi互异) 根据寻找策略的不同，我们有插值问题和最佳平方逼近问题。 为了得到 的更多信息， 我们首先要确定一个函数空间 ，在该函数空间中寻找 的近似函数 。 插值与逼近 引言 若要求 满足 则相应的问题称为插值问题，上述条件称为插值条件， —— 插值节点； 则相应的问题称为离散型最佳平方逼近问题（最小二乘问题）。 我们还可以定义对函数 的连续型最佳平方逼近问题！ p(x) —— 插值函数， 若要求 使得 定义1： 设函数组 ， 若向量组 线性无关， 则称 在点集 上线性无关。 定义2： 设函数组 ，在[a,b]上连续， 若存在不全为零的数 使得 则称 在[a,b]上线性相关， 否则，称为线性无关。 若 中，任何有限个函数在[a,b]上线性无关， 则称 为[a,b]上的线性无关函数系。 预备知识 代数(多项式)插值问题 最小二乘拟合问题 代数(多项式)插值问题 1、概述； 2、拉格朗日插值； 3、分段插值 返回 1 代数插值概述 取函数空间为不超过n阶的多项式集合 ，这样的插值问题称为代数(多项式)插值问题，即求 ， 使得如下插值条件成立 —— 插值多项式 定理1 插值多项式存在并且唯一。 证： 存在性， 有唯一解！ 即 n+1个插值条件可以唯一的确定一个不超过n阶的插值多项式！ 唯一性， （利用n阶多项式在复数域内至多有n个零点可证！） 显然以 作为 在插值点 处的近似值是有误差的，记 证： 不妨设 ，做函数 （多项式插值余项定理） 定理2 设 在 上连续， 在 内存在，则 ，有 其中 且依赖于 ， —— 插值余项。 由罗尔定理可知， 在(a,b)内至少有一个零点，记作 ， 即 得证！ # 其中 且依赖于 ， 注： (1) (2) 在实际计算时插值节点应尽量选在插值点x的附近，以使 尽可能小！ (3) 对于不超过n次的多项式，其n阶插值多项式就是其本身！ 返回 2 拉格朗日(Lagrange)插值 定义： 设n次多项式lj(x) 满足 则称之为拉格朗日插值基函数。 利用待定系数法可得 从而可得满足插值条件的插值多项式 —— 拉格朗日插值多项式 显然， 在 上线性无关。 插值基函数： 插值多项式： 求满足插值条件 的插值多项式， 二次插值（抛物插值） 求满足插值条件 的插值多项式，