3-2向量组的线性相关与线性无关.ppt

二、线性相关性的概念 三、小结 * * §3.2 向量组的线性相关与线性无关 定义１ 一、线性组合的概念 例如： 有 所以， 是 的线性组合， 或 可以由 线性表示。 线性方程组的向量表示 定义2 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 线性相关性在线性方程组中的应用 结论 显然，如果齐次线性方程只有零解，则对该方程增加若干方程后仍有零解，由此我们得到如下命题 命题1 设有两个向量组 若向量组A线性无关，则向量组B也线性无关。 由于线性方程组的解与方程组中方程的次序无关，由此我们得到如下命题 命题2 设有两个向量组 则向量组A与B的线性相关性相同。 其中 是 这n个自然数的某个确定的排列， 例 1 证明 n 维单位坐标向量组 线性无关；并将任意n维向量 表示成 的线性组合 解 设存在一组数 ，使得 按照向量的数乘、加法运算可得 根据向量相等的定义，即有 所以 线性无关 对于任意给定的n维向量 例2 讨论向量组 的线性相关性 解 假设存在 x, y, z，使得 即 容易验证 x=1, y=1, z= -1是上述方程的一组非零解 即存在一组不全为零的数 1，1，－1使 所以 线性相关 证 例5 把向量 表示成向量组 的线性组合 解 设存在四个数 ，使得 即 解得 所以 　　１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；