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二、线性相关性的概念 三、小结 * * §3.2 向量组的线性相关与线性无关 定义1 一、线性组合的概念 例如: 有 所以, 是 的线性组合, 或 可以由 线性表示。 线性方程组的向量表示 定义2 则称向量组 是线性相关的,否则称它线性无关. 线性相关性在线性方程组中的应用 结论 显然,如果齐次线性方程只有零解,则对该方程增加若干方程后仍有零解,由此我们得到如下命题 命题1 设有两个向量组 若向量组A线性无关,则向量组B也线性无关。 由于线性方程组的解与方程组中方程的次序无关,由此我们得到如下命题 命题2 设有两个向量组 则向量组A与B的线性相关性相同。 其中 是 这n个自然数的某个确定的排列, 例 1 证明 n 维单位坐标向量组 线性无关;并将任意n维向量 表示成 的线性组合 解 设存在一组数 ,使得 按照向量的数乘、加法运算可得 根据向量相等的定义,即有 所以 线性无关 对于任意给定的n维向量 例2 讨论向量组 的线性相关性 解 假设存在 x, y, z,使得 即 容易验证 x=1, y=1, z= -1是上述方程的一组非零解 即存在一组不全为零的数 1,1,-1使 所以 线性相关 证 例5 把向量 表示成向量组 的线性组合 解 设存在四个数 ,使得 即 解得 所以 1. 向量、向量组与矩阵之间的联系,线性方 程组的向量表示;
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