3-2稳定性和误差.ppt

3.5　线性系统的稳定性分析 3.6　线性系统的误差分析 * * 3.5.1　稳定的概念和定义 　　 如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。　 对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。 线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动?(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。 3.5.2　线性系统的稳定条件 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。 根据定义输入?(t)，其输出为脉冲过渡函数K(t)。如果当 t→∞时， K(t)收敛到原来的平衡点，即有 那么，线性系统是稳定的。 　　 线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。 根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。 不失一般性，设n 阶系统的闭环传递函数为 3.5.3　线性系统的代数稳定判据 首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环特征方程为 式中，a0 0 , si（i =1,2 , ? , n）是系统的n个闭环极点。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立： 从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为： ai aj 0 ( i, j =1,2, ? , n) 即，闭环特征方程各项同号且不缺项。 如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。 1. 劳斯判据 系统稳定的充要条件是：该方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。 表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。 a0 a2 a4 … a1 a3 a5 … c1 c2 c3 … ┋ … cn (an) sn sn?1  sn?2 ┋ s1  s0 ( i ? 3, j = 1, 2, ?) 2.　劳斯判据的应用 （1）判断系统的稳定性 例3-3 设有下列特征方程D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0 试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。 解：劳斯表 第一列元素 符号改变了2次，∴系统不稳定，且s 右半平面有2个根。 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 5 2 4 ?6 1 5 5 例3-4 系统的特征方程为 D(s) = s3 ? 3s + 2 = 0 试用劳斯判据确定正实数根的个数。 解：系统的劳斯表为 第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下处理： s3 s2 s1 s0 1 ?3 0 2 ∞ ① 用一个很小的正数ε 来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。 ② 可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。 ∵ε→0+时，b1 0，劳斯表中第一列元素符号改变了两次 ∴系统有两个正根，不稳定。 （s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 ? 3s2 ? 7s + 6 = 0 s3 s2 s1 s0 1 ?3 0(ε) 2 2 s4 s3