4.有理系数多项式与矩阵的相似对角化.ppt

* 带余除法定理 设 a, b?Z, b ? 0, 则存在 q, r?Z, 使 a = bq+r, 0 ? r |b|, 且 q 和 r 由 a, b 唯一决定, 分别称为商和余数. 定义3 设 a, b?Z, 若 Z 中存在元素 d 满足 (1) d|a, d|b, (2) 若 c|a 和 c|b, 则 c|d, 则称 d 为 a 和 b 的最大公因子. 最大公因子定理 对任意两个整数 a, b, 存在两个整数 u, v, 使得 a, b 的最大公因子 (a, b) = ua+ bv. 算术基本定理 每个大于1的自然数均可写为素数的积, 而 且这些素因子按大小排列之后, 写法仅有一种方式. 定理3 设 f(x)?Z[x], 若 其中 r, s?Z, 且 (r, s) = 1, 则 证明 又因为 (r, s) = 1, 由最大公因子定理存在整数 u, v 使得 ur+vs = 1, 在这个等式两边取 n 次方可知存在整数 w 使得 unrn+ws = 1, 把等式两边同乘上 an 可得 unanrn+wsan = an, 所以 同理可证 例2 在 Q[x] 中多项式 f(x) = x3+x2+1 是否可约? 解 由定理3该多项式有理根只可能是正负1, 这两个数均不 是该多项式的根, 所以该多项式不可约. 定义5 定义 n 个整数的最大公因子为这 n 个整数的公因 子中可被所有公因子整除的公因子. 整系数非零多项式的所有系数的正最大公因子称为该多 项式的容度. 容度为1的多项式称为本原多项式. 定理4 对任意三个整数 a, b, c, 有 (a, b, c) = f 存在, 且 f = d = (a, (b, c)) = ((a, b), c) = e. 证明 d|a, d|(b, c) ? d|a, d|b, d|c ? d|(a, b), d|c ? d|e, 同 理可证 e|d, 所以 d = e. 同理可证 f 存在, 且 f = d. Gauss引理 设 f(x), g(x)?Z[x] 为两个本原多项式, 则 f(x)g(x)也是本原多项式. 证明 用反证法: 若不然, 存在素数 p 能整除 f(x)g(x) 的所 有系数, 记 则 b0c0 = a0, brcs = an, n = r+s, 因为 p|a0, 由定理2推论可知 p|b0 或 p|c0, 所以不妨设 p|b0, 由于f(x) 是本原多项式, 故 p 不能整除 f(x) 的所有系数, 所以存在 k ? r 使得 p 能整除 b0, b1,?, bk–1, 但 p 不能整除 bk, 此时分两种情况: (1) p 不 不能整除 c0, 则 p 不能整除 b0ck+b1ck–1+?+bk–1c1+bkc0 = ak, 矛盾. (2) p|c0, 由于 g(x) 也是本原多项式, 所以存在 l ? s 使得 p 能整除 c0, c1,?, cl–1, 但 p 不能整除 cl, 此时 p 不能 整除 b0ck+l+?+bk–1cl+1+bkcl+bk+1cl-1+?+bk+lc0 = ak+l, 矛盾. 定理5 整系数多项式 在 Q[x] 中可约 ? f(x) 可分解为 Z[x] 中两个次数较低的 多项式的乘积. (P.16定理8.12改错) 证明 充分性是显然的. 下证必要性: 设 f(x) 可分解为两 个非常数的有理系数多项式的乘积, 分别把这两个有理 系数多项式的系数通分, 不妨设 这里 g(x) 和 h(x) 均为本原多项式, 而 a 和 b 是两个互素 的整数, 由Gauss引理 g(x)h(x) 仍是本原多项式, 故 a/b 为整系数多项式 f(x) 的容度, 故 b = ?1, 所以 f(x) = ?ag(x)h(x). 例3 Q[x] 中多项式 f(x) = x4+1 是否可约? 解 显然该多项式无有理根(没有实根), 用待定系数法和 定理5可以证明该多项式也不能分解为 Q[x] 中两个二次 多项式的乘积, 所以该多项式在 Q[x]不可约. 注 证明 Q[x] 中多项式 f(x) = x4+1 不可约, 还可用下面 的Einsenstein判别法以及 f(x)可约 ? f(x+1) 可约(?). Eisenstein判别法 设 且若存在素数 p 不